Номер 781, страница 194 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 781, страница 194.

781. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отметили точку $O$ так, что $AB = AO$. Известно, что внешний угол треугольника $ABC$ при вершине $A$ равен $160^\circ$ и $\angle C = 40^\circ$. Докажите, что $BO = CO$.

Для доказательства равенства $BO = CO$ покажем, что треугольник $BCO$ является равнобедренным с основанием $BC$, то есть докажем, что углы при его основании равны: $\angle OBC = \angle OCB$.

1. Нахождение внутреннего угла $\angle BAC$
Внешний угол треугольника при вершине $A$ и внутренний угол $\angle BAC$ являются смежными, их сумма составляет $180^\circ$.
Следовательно, $\angle BAC = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$.

2. Анализ треугольника $ABO$
По условию задачи $AB = AO$. Это означает, что треугольник $ABO$ является равнобедренным с основанием $BO$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle ABO = \angle AOB$.
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому углы при основании треугольника $ABO$ равны:
$\angle ABO = \angle AOB = (180^\circ - \angle BAO) / 2 = (180^\circ - 20^\circ) / 2 = 160^\circ / 2 = 80^\circ$.

3. Нахождение угла $\angle ABC$
Рассмотрим основной треугольник $ABC$. Сумма его углов равна $180^\circ$. Мы знаем $\angle BAC = 20^\circ$ и $\angle C = 40^\circ$.
Найдем угол $\angle ABC$:
$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle C) = 180^\circ - (20^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

4. Нахождение угла $\angle OBC$
Угол $\angle ABC$ состоит из двух углов: $\angle ABO$ и $\angle OBC$. Мы уже нашли, что $\angle ABC = 120^\circ$ и $\angle ABO = 80^\circ$.
Найдем $\angle OBC$:
$\angle OBC = \angle ABC - \angle ABO = 120^\circ - 80^\circ = 40^\circ$.

5. Анализ треугольника $BCO$ и доказательство
Теперь рассмотрим треугольник $BCO$. Мы знаем следующие его углы:
- $\angle OCB$ (это тот же угол, что и $\angle C$) по условию равен $40^\circ$.
- $\angle OBC$ мы нашли в предыдущем шаге, он равен $40^\circ$.
Поскольку в треугольнике $BCO$ два угла равны ($\angle OCB = \angle OBC = 40^\circ$), он является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Сторона $BO$ лежит против угла $\angle OCB$, а сторона $CO$ лежит против угла $\angle OBC$.
Следовательно, $BO = CO$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $BO = CO$ доказано, так как треугольник $BCO$ является равнобедренным ($\angle OBC = \angle OCB = 40^\circ$).