Номер 788, страница 194 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 788, страница 194.

788. Из точек $C$ и $D$, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой $m$, опущены перпендикуляры $CE$ и $DF$ на эту прямую, $CF = DE$. Докажите, что $CE = DF$.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle CEF$ и $\triangle DFE$.

По условию задачи, отрезки $CE$ и $DF$ являются перпендикулярами, опущенными из точек $C$ и $D$ на прямую $m$. Это означает, что точки $E$ и $F$ лежат на прямой $m$. Следовательно, $\triangle CEF$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $E$ ($\angle CEF = 90^\circ$), а $\triangle DFE$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $F$ ($\angle DFE = 90^\circ$).

Сравним эти два прямоугольных треугольника. У них есть общий катет $EF$. Кроме того, по условию задачи, их гипотенузы равны: $CF = DE$.

Согласно признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету, если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Таким образом, $\triangle CEF = \triangle DFE$, так как у них общий катет $EF$ и равные гипотенузы $CF$ и $DE$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Катет $CE$ треугольника $\triangle CEF$ соответствует катету $DF$ треугольника $\triangle DFE$.

Следовательно, $CE = DF$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $CE = DF$ доказано.