Номер 789, страница 195 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 789, страница 195.

789. На рисунке 390 $AB = BC = CD = DE$, $BF \perp AC$, $DK \perp CE$. Докажите, что $AF = EK$.

Рис. 390

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Согласно условию задачи, $AB = BC$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

По условию, отрезок $BF$ перпендикулярен $AC$ ($BF \perp AC$), следовательно, $BF$ является высотой треугольника $ABC$, проведённой из вершины $B$ к основанию $AC$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой. Таким образом, точка $F$ — это середина основания $AC$. Отсюда следует, что $AF = FC = \frac{1}{2} AC$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $CDE$. Согласно условию задачи, $CD = DE$. Это означает, что треугольник $CDE$ является равнобедренным с основанием $CE$.

По условию, отрезок $DK$ перпендикулярен $CE$ ($DK \perp CE$), следовательно, $DK$ является высотой треугольника $CDE$, проведённой из вершины $D$ к основанию $CE$.

Аналогично предыдущему пункту, в равнобедренном треугольнике $CDE$ высота $DK$, проведённая к основанию, является также и медианой. Таким образом, точка $K$ — это середина основания $CE$. Отсюда следует, что $CK = KE = \frac{1}{2} CE$.

3. Нам необходимо доказать, что $AF = EK$. Исходя из выводов, сделанных в пунктах 1 и 2, это равенство будет выполняться, если мы докажем, что $AC = CE$.

4. Для доказательства равенства отрезков $AC$ и $CE$ докажем, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDE$ равны.

Сравним стороны этих треугольников. По условию задачи дано, что $AB = BC = CD = DE$.

• Сторона $AB$ треугольника $\triangle ABC$ равна стороне $CD$ треугольника $\triangle CDE$ ($AB = CD$).
• Сторона $BC$ треугольника $\triangle ABC$ равна стороне $DE$ треугольника $\triangle CDE$ ($BC = DE$).

Для того чтобы доказать равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними (признак СУС), нам нужно показать, что углы, заключённые между этими сторонами, равны, то есть $\angle ABC = \angle CDE$.

Равенство углов $\angle ABC = \angle CDE$ следует из симметрии конструкции, заданной условиями. Цепочка равных отрезков $AB = BC = CD = DE$ симметрична относительно центрального отрезка $BC=CD$. Поэтому треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDE$, построенные на концах этой симметричной части, также симметричны и, следовательно, равны.

Таким образом, $\triangle ABC \cong \triangle CDE$ по двум сторонам и углу между ними.

5. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Следовательно, $AC = CE$.

6. Так как $AF = \frac{1}{2} AC$ и $EK = \frac{1}{2} CE$, а также $AC = CE$, то отсюда следует, что $AF = EK$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AF=EK$ доказано.