Номер 784, страница 194 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 784, страница 194.

784. В треугольнике $ABC$ $\angle A = 55^\circ$, $\angle B = 75^\circ$. Найдите угол между высотой и биссектрисой треугольника, проведёнными из вершины $C$.

Пусть в треугольнике $ABC$ из вершины $C$ проведены высота $CH$ к стороне $AB$ и биссектриса $CL$. Необходимо найти величину угла $\angle HCL$.

1. Найдем величину угла $C$ в треугольнике $ABC$. Мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$
Подставим известные значения:
$\angle C = 180^\circ - 55^\circ - 75^\circ = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.

2. Так как $CL$ является биссектрисой угла $C$, она делит этот угол на два равных угла: $\angle ACL$ и $\angle BCL$.
$\angle ACL = \angle BCL = \frac{\angle C}{2} = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. Он является прямоугольным, поскольку $CH$ — высота, а значит, угол $\angle CHA = 90^\circ$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$.
Следовательно, угол $\angle ACH$ можно найти как:
$\angle ACH = 90^\circ - \angle A$
$\angle ACH = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$.

4. Искомый угол $\angle HCL$ — это разность между углом $\angle ACH$ и углом $\angle ACL$, так как биссектриса $CL$ проходит между высотой $CH$ и стороной $AC$.
$\angle HCL = \angle ACH - \angle ACL$
$\angle HCL = 35^\circ - 25^\circ = 10^\circ$.

Ответ: $10^\circ$.