Номер 780, страница 194 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 780, страница 194.

780. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, в 2 раза меньше этого основания. Найдите углы данного треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. По свойству равнобедренного треугольника, высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

По условию задачи, высота в 2 раза меньше основания, то есть $BH = \frac{1}{2} AC$.

Так как $BH$ является медианой, она делит основание $AC$ пополам: $AH = HC = \frac{1}{2} AC$.

Сравнивая два полученных выражения, мы видим, что $BH = AH$.

Рассмотрим треугольник $ABH$. Он является прямоугольным, так как $BH$ — высота ($\angle BHA = 90^\circ$). Поскольку в этом треугольнике катеты $BH$ и $AH$ равны, он является равнобедренным прямоугольным треугольником.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны и их сумма составляет $90^\circ$. Следовательно, $\angle BAH = \angle ABH = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Теперь найдем углы исходного треугольника $ABC$:

1. Угол при основании $\angle BAC$ равен углу $\angle BAH$, то есть $\angle BAC = 45^\circ$.

2. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, второй угол при основании $\angle BCA$ равен первому: $\angle BCA = \angle BAC = 45^\circ$.

3. Угол при вершине $\angle ABC$ можно найти двумя способами:
а) Из суммы углов треугольника: $\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
б) Так как $BH$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, то $\angle ABC = 2 \cdot \angle ABH = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, данный треугольник является прямоугольным равнобедренным треугольником.

Ответ: углы треугольника равны $45^\circ$, $45^\circ$ и $90^\circ$.