Номер 783, страница 194 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

783. Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает его стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $K$ соответственно так, что $AM = MK$. Известно, что $\angle B = 65^\circ$, $\angle C = 45^\circ$. Найдите угол $KAC$.

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Сначала найдем величину угла $A$ (или $\angle BAC$) в треугольнике $ABC$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Используя известные значения углов $\angle B$ и $\angle C$, получаем:

$\angle BAC = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 65^\circ - 45^\circ = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

2. По условию задачи, прямая $MK$ параллельна стороне $AC$ ($MK \parallel AC$). Рассмотрим эти параллельные прямые и секущую $AK$, которая их пересекает. При пересечении параллельных прямых секущей образуются равные накрест лежащие углы. В нашем случае это углы $\angle MKA$ и $\angle KAC$. Таким образом, мы можем утверждать, что:

$\angle MKA = \angle KAC$.

3. Далее рассмотрим треугольник $AMK$. По условию, его стороны $AM$ и $MK$ равны ($AM = MK$). Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы, лежащие против равных сторон, также равны. Угол $\angle MAK$ лежит против стороны $MK$, а угол $\angle MKA$ лежит против стороны $AM$. Следовательно:

$\angle MAK = \angle MKA$.

4. Теперь объединим равенства, полученные на предыдущих шагах. Из шага 2 мы имеем $\angle MKA = \angle KAC$, а из шага 3 — $\angle MAK = \angle MKA$. Отсюда следует, что:

$\angle MAK = \angle KAC$.

Это означает, что отрезок $AK$ является биссектрисой угла $\angle BAC$.

5. Угол $\angle BAC$ можно представить как сумму двух углов: $\angle MAK$ и $\angle KAC$, так как точка $M$ лежит на стороне $AB$.

$\angle BAC = \angle MAK + \angle KAC$.

Так как мы установили, что $\angle MAK = \angle KAC$, можно подставить это в формулу:

$\angle BAC = \angle KAC + \angle KAC = 2 \cdot \angle KAC$.

6. Наконец, используя значение $\angle BAC = 70^\circ$ из шага 1, находим искомый угол $\angle KAC$:

$70^\circ = 2 \cdot \angle KAC$

$\angle KAC = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ$.

Ответ: $35^\circ$.