Номер 782, страница 194 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 782, страница 194.

782. На продолжениях стороны AC треугольника ABC за точки A и C отметили соответственно точки M и K так, что $AM = AB$, $CK = BC$.

Найдите углы треугольника MBK, если $\angle BAC = 60^{\circ}$, $\angle ACB = 80^{\circ}$.

Для решения задачи найдем углы треугольников, образованных на продолжениях стороны $AC$.

Сначала найдем угол $\angle ABC$ в исходном треугольнике $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB = 180^\circ - 60^\circ - 80^\circ = 40^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AMB$. Так как точки $M, A, C$ лежат на одной прямой, угол $\angle MAB$ является смежным с углом $\angle BAC$.
$\angle MAB = 180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
По условию задачи $AM = AB$, следовательно, треугольник $AMB$ — равнобедренный с основанием $MB$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle AMB = \angle ABM$.
Найдем эти углы:$\angle AMB = \angle ABM = \frac{180^\circ - \angle MAB}{2} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
Таким образом, мы нашли первый угол треугольника $MBK$: $\angle BMK = \angle AMB = 30^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $CKB$. Так как точки $A, C, K$ лежат на одной прямой, угол $\angle BCK$ является смежным с углом $\angle ACB$.
$\angle BCK = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.
По условию задачи $CK = BC$, следовательно, треугольник $CKB$ — равнобедренный с основанием $KB$. Углы при основании равны: $\angle CKB = \angle CBK$.
Найдем эти углы:$\angle CKB = \angle CBK = \frac{180^\circ - \angle BCK}{2} = \frac{180^\circ - 100^\circ}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ$.
Таким образом, мы нашли второй угол треугольника $MBK$: $\angle MKB = \angle CKB = 40^\circ$.

Осталось найти третий угол, $\angle MBK$. Этот угол состоит из суммы трех смежных углов: $\angle ABM$, $\angle ABC$ и $\angle CBK$.
$\angle MBK = \angle ABM + \angle ABC + \angle CBK$.
Подставим найденные значения:
$\angle MBK = 30^\circ + 40^\circ + 40^\circ = 110^\circ$.

Итак, углы треугольника $MBK$ равны $30^\circ$, $40^\circ$ и $110^\circ$.
Проверка: сумма углов $30^\circ + 40^\circ + 110^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $30^\circ$, $40^\circ$, $110^\circ$.