Номер 779, страница 194 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 779, страница 194.

779. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точки $M$ и $K$ (точка $M$ лежит между точками $B$ и $K$) так, что $\angle KAC = \angle B$, $\angle BAM = \angle C$. Докажите, что $\triangle MAK$ равнобедренный.

Чтобы доказать, что треугольник $\Delta MAK$ равнобедренный, покажем, что его углы при основании $MK$ равны, то есть $\angle AMK = \angle AKM$. Для этого воспользуемся данными из условия задачи: $\angle KAC = \angle B$ и $\angle BAM = \angle C$.

Рассмотрим треугольник $\Delta ABM$. Сумма его углов равна $180^\circ$, поэтому $\angle AMB = 180^\circ - (\angle ABM + \angle BAM)$. Подставляя известные нам углы ($\angle ABM = \angle B$ и $\angle BAM = \angle C$), получаем $\angle AMB = 180^\circ - (\angle B + \angle C)$.

Так как точки $B, M, K$ лежат на одной прямой, углы $\angle AMK$ и $\angle AMB$ являются смежными. Их сумма равна $180^\circ$, откуда:
$\angle AMK = 180^\circ - \angle AMB = 180^\circ - (180^\circ - (\angle B + \angle C)) = \angle B + \angle C$.

Теперь рассмотрим треугольник $\Delta AKC$. Сумма его углов также равна $180^\circ$, поэтому $\angle AKC = 180^\circ - (\angle KAC + \angle ACK)$. Подставляя известные нам углы ($\angle KAC = \angle B$ и $\angle ACK = \angle C$), получаем $\angle AKC = 180^\circ - (\angle B + \angle C)$.

Так как точки $M, K, C$ лежат на одной прямой, углы $\angle AKM$ и $\angle AKC$ являются смежными. Их сумма равна $180^\circ$, откуда:
$\angle AKM = 180^\circ - \angle AKC = 180^\circ - (180^\circ - (\angle B + \angle C)) = \angle B + \angle C$.

Сравнивая полученные выражения для углов, видим, что $\angle AMK = \angle AKM = \angle B + \angle C$.

Поскольку в треугольнике $\Delta MAK$ два угла при стороне $MK$ равны, он является равнобедренным по признаку равнобедренного треугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $\Delta MAK$ является равнобедренным.