Номер 775, страница 194 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 775, страница 194.

775. Докажите, что биссектрисы односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, перпендикулярны.

Пусть даны две параллельные прямые a и b и секущая c, которая пересекает прямую a в точке A и прямую b в точке B.

При пересечении образуются односторонние внутренние углы. Обозначим их как $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $. Согласно свойству параллельных прямых, сумма односторонних углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, равна $180^\circ$. Таким образом, $ \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ $.

Проведем биссектрисы этих углов. Пусть биссектриса угла $ \angle 1 $ и биссектриса угла $ \angle 2 $ пересекаются в точке C. Эти биссектрисы вместе с отрезком AB секущей образуют треугольник $ \triangle ABC $.

По определению биссектрисы, углы $ \angle CAB $ и $ \angle CBA $ в треугольнике $ \triangle ABC $ равны половинам углов $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $ соответственно: $ \angle CAB = \frac{\angle 1}{2} $ и $ \angle CBA = \frac{\angle 2}{2} $.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Для $ \triangle ABC $ имеем: $ \angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180^\circ $.

Подставим выражения для углов $ \angle CAB $ и $ \angle CBA $ в это уравнение: $ \frac{\angle 1}{2} + \frac{\angle 2}{2} + \angle ACB = 180^\circ $.

Преобразуем левую часть: $ \frac{\angle 1 + \angle 2}{2} + \angle ACB = 180^\circ $.

Зная, что $ \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ $, подставим это значение в полученное уравнение: $ \frac{180^\circ}{2} + \angle ACB = 180^\circ $.

Упростим: $ 90^\circ + \angle ACB = 180^\circ $.

Отсюда находим величину угла $ \angle ACB $, который является углом между биссектрисами: $ \angle ACB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ $.

Так как угол между биссектрисами равен $90^\circ$, то по определению они перпендикулярны.

Ответ: Биссектрисы односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, перпендикулярны, что и требовалось доказать.