Номер 771, страница 193 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Треугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 771, страница 193.

771. На рисунке 389 $AM = CN$, $AB = CD$, $BN = DM$. Докажите, что

$\angle ABN = \angle CDM.$

Рис. 389

Для того чтобы доказать, что $ \angle ABN = \angle CDM $, мы докажем, что треугольники $ \triangle ABN $ и $ \triangle CDM $ равны.

По условию задачи нам даны равенства двух пар сторон этих треугольников: $ AB = CD $ и $ BN = DM $. Если мы докажем, что и третьи стороны, $ AN $ и $ CM $, равны, то треугольники будут равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Рассмотрим длины отрезков $ AN $ и $ CM $. Точки A, M, C, N лежат на одной прямой. Длину отрезка $ AN $ можно представить как сумму длин отрезков $ AM $ и $ MN $, то есть $ AN = AM + MN $. Аналогично, длина отрезка $ CM $ равна сумме длин отрезков $ CN $ и $ NM $. Так как длина отрезка $ NM $ равна длине $ MN $, мы можем записать $ CM = CN + MN $.

Из условия задачи известно, что $ AM = CN $. Давайте сравним выражения для длин $ AN $ и $ CM $:

$ AN = AM + MN $

$ CM = CN + MN $

Поскольку правые части этих выражений состоят из соответственно равных слагаемых ($ AM = CN $ и $ MN = MN $), то и сами выражения равны. Таким образом, $ AN = CM $.

Теперь мы можем утверждать, что три стороны треугольника $ \triangle ABN $ соответственно равны трем сторонам треугольника $ \triangle CDM $:

$ AB = CD $ (по условию)

$ BN = DM $ (по условию)

$ AN = CM $ (доказано выше)

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $ \triangle ABN \cong \triangle CDM $.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $ \angle ABN $ в треугольнике $ \triangle ABN $ образован сторонами $ AB $ и $ BN $. Угол $ \angle CDM $ в треугольнике $ \triangle CDM $ образован сторонами $ CD $ и $ DM $. Так как $ AB $ соответствует $ CD $ и $ BN $ соответствует $ DM $, то углы между этими парами сторон равны.

Таким образом, $ \angle ABN = \angle CDM $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ \angle ABN = \angle CDM $ доказано, так как $ \triangle ABN \cong \triangle CDM $ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).