Страница 193 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

766. На рисунке 388 $OA = OC, OD = OB$. Докажите, что $\angle DAC = \angle BCA$.

Рис. 388

Рассмотрим треугольники $ \triangle AOD $ и $ \triangle COB $.

По условию задачи нам дано, что $ OA = OC $ и $ OD = OB $. Углы $ \angle AOD $ и $ \angle COB $ равны, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении отрезков $ AC $ и $ DB $.

Таким образом, в треугольниках $ \triangle AOD $ и $ \triangle COB $ есть две соответственно равные стороны ($ OA = OC $, $ OD = OB $) и равный угол между ними ($ \angle AOD = \angle COB $). Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольник $ \triangle AOD $ равен треугольнику $ \triangle COB $.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $ \angle OAD $ в треугольнике $ \triangle AOD $ лежит напротив стороны $ OD $. Угол $ \angle OCB $ в треугольнике $ \triangle COB $ лежит напротив стороны $ OB $. Поскольку стороны $ OD $ и $ OB $ равны, то и противолежащие им углы равны: $ \angle OAD = \angle OCB $.

Так как точки $ A, O, C $ лежат на одной прямой, то угол $ \angle OAD $ — это тот же угол, что и $ \angle DAC $. Аналогично, угол $ \angle OCB $ — это тот же угол, что и $ \angle BCA $.

Отсюда следует, что $ \angle DAC = \angle BCA $, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

767. Точка O – точка пересечения серединных перпендикуляров сторон AC и BC треугольника ABC – принадлежит его стороне AB. Докажите, что:

1) точка O – середина отрезка AB;

2) $\angle ACB = \angle A + \angle B$.

1) точка O – середина отрезка AB;

По определению, точка $O$ является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $AC$ и $BC$. Свойство серединного перпендикуляра заключается в том, что любая его точка равноудалена от концов отрезка.

Поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$, она равноудалена от вершин $A$ и $C$. Это означает, что $OA = OC$.

Аналогично, поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$, она равноудалена от вершин $B$ и $C$. Это означает, что $OB = OC$.

Из двух полученных равенств $OA = OC$ и $OB = OC$ следует, что $OA = OB$.

Так как по условию точка $O$ принадлежит отрезку $AB$ и $OA = OB$, то точка $O$ является серединой отрезка $AB$.

Ответ: Доказано, что точка $O$ – середина отрезка $AB$.

2) ∠ACB = ∠A + ∠B.

Рассмотрим треугольники $AOC$ и $BOC$, образованные отрезком $OC$.

Из пункта 1 мы установили, что $OA = OC$. Это означает, что треугольник $AOC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle OCA = \angle OAC$. Угол $\angle OAC$ является углом $\angle A$ треугольника $ABC$, поэтому $\angle OCA = \angle A$.

Также из пункта 1 мы знаем, что $OB = OC$. Это означает, что треугольник $BOC$ является равнобедренным с основанием $BC$. Углы при основании этого треугольника равны, следовательно, $\angle OCB = \angle OBC$. Угол $\angle OBC$ является углом $\angle B$ треугольника $ABC$, поэтому $\angle OCB = \angle B$.

Угол $\angle ACB$ треугольника $ABC$ состоит из суммы двух углов: $\angle OCA$ и $\angle OCB$.

$\angle ACB = \angle OCA + \angle OCB$

Заменив углы $\angle OCA$ и $\angle OCB$ на равные им углы $\angle A$ и $\angle B$ соответственно, получаем:

$\angle ACB = \angle A + \angle B$

Ответ: Доказано, что $\angle ACB = \angle A + \angle B$.

768. Медиана треугольника $ABC$ разбивает его на два треугольника, периметры которых равны. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$ к стороне $AC$. Эта медиана разбивает треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$.

Периметр треугольника $ABM$ ($P_{\triangle ABM}$) вычисляется как сумма длин его сторон: $P_{\triangle ABM} = AB + AM + BM$

Периметр треугольника $CBM$ ($P_{\triangle CBM}$) вычисляется аналогично: $P_{\triangle CBM} = BC + CM + BM$

По условию задачи, периметры этих двух треугольников равны: $P_{\triangle ABM} = P_{\triangle CBM}$

Приравняем выражения для периметров: $AB + AM + BM = BC + CM + BM$

Сторона $BM$ является общей для обоих треугольников. Вычтем её длину из обеих частей равенства: $AB + AM = BC + CM$

По определению, медиана $BM$ делит сторону $AC$ на два равных отрезка, то есть: $AM = CM$

Так как $AM = CM$, мы можем вычесть эти равные длины из обеих частей равенства $AB + AM = BC + CM$. В результате получаем: $AB = BC$

Мы доказали, что две стороны треугольника $ABC$ ($AB$ и $BC$) равны. По определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если медиана треугольника делит его на два треугольника с равными периметрами, то исходный треугольник является равнобедренным.

769. В треугольнике $ABC$ $AB = BC$, $BD$ – медиана. Периметр треугольника $ABC$ равен 50 см, а периметр треугольника $ABD$ – 40 см. Найдите длину медианы $BD$.

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC$, следовательно, треугольник является равнобедренным.

Периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$) — это сумма длин всех его сторон:

$P_{ABC} = AB + BC + AC$

Поскольку $AB = BC$, мы можем записать периметр как:

$P_{ABC} = 2 \cdot AB + AC$

Из условия известно, что $P_{ABC} = 50$ см, значит:

$2 \cdot AB + AC = 50$

Отрезок $BD$ является медианой, проведенной к стороне $AC$. По определению, медиана делит сторону, к которой она проведена, на два равных отрезка. Таким образом, $D$ — середина $AC$, и $AD = DC$.

Отсюда следует, что длина всей стороны $AC$ равна удвоенной длине отрезка $AD$:

$AC = AD + DC = 2 \cdot AD$

Теперь подставим это выражение для $AC$ в формулу периметра треугольника $ABC$:

$2 \cdot AB + 2 \cdot AD = 50$

Вынесем 2 за скобки и разделим обе части уравнения на 2:

$2 \cdot (AB + AD) = 50$

$AB + AD = 25$ см.

Теперь рассмотрим периметр треугольника $ABD$ ($P_{ABD}$), который по условию равен 40 см. Он складывается из длин сторон $AB$, $AD$ и $BD$:

$P_{ABD} = AB + AD + BD$

Подставим известное значение суммы $AB + AD$ в это уравнение:

$25 + BD = 40$

Чтобы найти длину медианы $BD$, вычтем 25 из 40:

$BD = 40 - 25$

$BD = 15$ см.

Ответ: 15 см.

770. На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ отметили точки $F$ и $K$ соответственно. Докажите, что если треугольники $AFB$ и $AKB$ равны и стороны $AK$ и $BF$ соответственные, то треугольник $ABC$ равнобедренный.

Рассмотрим условие равенства треугольников $AFB$ и $AKB$. Указание, что стороны $AK$ и $BF$ являются соответственными, определяет точное соответствие между вершинами этих треугольников при их равенстве.

В равных треугольниках соответственные стороны соединяют соответственные вершины. Сторона $BF$ в треугольнике $AFB$ соединяет вершины $B$ и $F$. Сторона $AK$ в треугольнике $AKB$ соединяет вершины $A$ и $K$. Следовательно, пара вершин $\{B, F\}$ первого треугольника должна соответствовать паре вершин $\{A, K\}$ второго.

Оставшаяся вершина треугольника $AFB$ — это $A$. Оставшаяся вершина треугольника $AKB$ — это $B$. Отсюда следует, что вершина $A$ первого треугольника должна соответствовать вершине $B$ второго ($A \leftrightarrow B$).

Теперь установим полное соответствие вершин. Зная, что $A \leftrightarrow B$, и что пара $\{B, F\}$ соответствует паре $\{A, K\}$, мы можем однозначно определить оставшиеся соответствия. Вершина $B$ из первого треугольника должна соответствовать одной из вершин $A$ или $K$. Так как вершине $B$ (из второго треугольника) уже соответствует вершина $A$ (из первого), то по правилам соответствия вершин в равных фигурах, вершина $B$ (из первого) должна соответствовать вершине $A$ (из второго). Тогда для вершины $F$ остается только соответствие с вершиной $K$.

Таким образом, мы получаем следующее соответствие вершин: $A \leftrightarrow B$, $F \leftrightarrow K$, $B \leftrightarrow A$. Это означает, что равенство треугольников следует записать как $\triangle AFB \cong \triangle BKA$.

Из равенства треугольников $\triangle AFB \cong \triangle BKA$ следует равенство их соответственных углов. В частности, угол при вершине $A$ в первом треугольнике равен углу при соответственной вершине $B$ во втором треугольнике: $\angle FAB = \angle KBA$.

Рассмотрим эти углы в контексте исходного треугольника $ABC$. Угол $\angle FAB$ является углом $\angle CAB$ треугольника $ABC$, поскольку точка $F$ лежит на стороне $AC$. Аналогично, угол $\angle KBA$ является углом $\angle CBA$ треугольника $ABC$, поскольку точка $K$ лежит на стороне $BC$.

Следовательно, мы получаем, что в треугольнике $ABC$ углы при основании $AB$ равны: $\angle CAB = \angle CBA$.

Согласно признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике два угла равны, то стороны, противолежащие этим углам, также равны. В нашем случае это стороны $AC$ и $BC$. Значит, $AC = BC$.

Поскольку у треугольника $ABC$ две стороны равны, он является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

771. На рисунке 389 $AM = CN$, $AB = CD$, $BN = DM$. Докажите, что

$\angle ABN = \angle CDM.$

Рис. 389

Для того чтобы доказать, что $ \angle ABN = \angle CDM $, мы докажем, что треугольники $ \triangle ABN $ и $ \triangle CDM $ равны.

По условию задачи нам даны равенства двух пар сторон этих треугольников: $ AB = CD $ и $ BN = DM $. Если мы докажем, что и третьи стороны, $ AN $ и $ CM $, равны, то треугольники будут равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Рассмотрим длины отрезков $ AN $ и $ CM $. Точки A, M, C, N лежат на одной прямой. Длину отрезка $ AN $ можно представить как сумму длин отрезков $ AM $ и $ MN $, то есть $ AN = AM + MN $. Аналогично, длина отрезка $ CM $ равна сумме длин отрезков $ CN $ и $ NM $. Так как длина отрезка $ NM $ равна длине $ MN $, мы можем записать $ CM = CN + MN $.

Из условия задачи известно, что $ AM = CN $. Давайте сравним выражения для длин $ AN $ и $ CM $:

$ AN = AM + MN $

$ CM = CN + MN $

Поскольку правые части этих выражений состоят из соответственно равных слагаемых ($ AM = CN $ и $ MN = MN $), то и сами выражения равны. Таким образом, $ AN = CM $.

Теперь мы можем утверждать, что три стороны треугольника $ \triangle ABN $ соответственно равны трем сторонам треугольника $ \triangle CDM $:

$ AB = CD $ (по условию)

$ BN = DM $ (по условию)

$ AN = CM $ (доказано выше)

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $ \triangle ABN \cong \triangle CDM $.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $ \angle ABN $ в треугольнике $ \triangle ABN $ образован сторонами $ AB $ и $ BN $. Угол $ \angle CDM $ в треугольнике $ \triangle CDM $ образован сторонами $ CD $ и $ DM $. Так как $ AB $ соответствует $ CD $ и $ BN $ соответствует $ DM $, то углы между этими парами сторон равны.

Таким образом, $ \angle ABN = \angle CDM $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ \angle ABN = \angle CDM $ доказано, так как $ \triangle ABN \cong \triangle CDM $ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

772. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ медианы $AM$ и $A_1M_1$ равны, $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. По условию, в этих треугольниках проведены медианы $ AM $ и $ A_1M_1 $ соответственно. Дано, что $ AM = A_1M_1 $, $ AB = A_1B_1 $ и $ BC = B_1C_1 $.

Так как $ AM $ и $ A_1M_1 $ — медианы, они делят стороны $ BC $ и $ B_1C_1 $ пополам. То есть, $ BM = \frac{1}{2}BC $ и $ B_1M_1 = \frac{1}{2}B_1C_1 $. Поскольку по условию $ BC = B_1C_1 $, то и половины этих сторон равны: $ BM = B_1M_1 $.

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABM $ и $ \triangle A_1B_1M_1 $. В них стороны $ AB $, $ AM $ и $ BM $ соответственно равны сторонам $ A_1B_1 $, $ A_1M_1 $ и $ B_1M_1 $ ($ AB = A_1B_1 $ по условию, $ AM = A_1M_1 $ по условию, $ BM = B_1M_1 $ по доказанному). Следовательно, $ \triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1 $ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников $ \triangle ABM $ и $ \triangle A_1B_1M_1 $ следует равенство их соответствующих углов. Таким образом, $ \angle B = \angle B_1 $.

Теперь рассмотрим исходные треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. В них сторона $ AB $ равна стороне $ A_1B_1 $, сторона $ BC $ равна стороне $ B_1C_1 $ (по условию), а угол между этими сторонами, $ \angle B $, равен углу $ \angle B_1 $ (по доказанному). Следовательно, $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $.

773. Через точку, не принадлежащую прямой $a$, провели три прямые. Докажите, что по крайней мере две из этих прямых пересекают прямую $a$.

Доказательство проведем методом от противного. Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, не принадлежащая этой прямой ($M \notin a$). Через точку $M$ проведены три различные прямые.

Допустим, что утверждение неверно. Это означает, что прямую $a$ пересекает менее двух прямых, то есть одна прямая или ни одной.

Рассмотрим эти два случая:

1. Ни одна из трех прямых не пересекает прямую $a$.
Если прямая не пересекает другую прямую, лежащую с ней в одной плоскости, то она ей параллельна. Следовательно, все три прямые, проходящие через точку $M$, параллельны прямой $a$. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых (аксиоме Евклида), согласно которой через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Значит, этот случай невозможен.

2. Только одна из трех прямых пересекает прямую $a$.
Это означает, что две другие прямые не пересекают прямую $a$, а значит, они ей параллельны. Таким образом, через точку $M$ проходят две различные прямые, параллельные прямой $a$. Это также противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, и этот случай невозможен.

Так как оба предположения (что ни одна или только одна прямая пересекает прямую $a$) приводят к противоречию, наше исходное допущение неверно. Следовательно, верно обратное утверждение: по крайней мере две из трех прямых, проведенных через точку $M$, пересекают прямую $a$.

Ответ: Что и требовалось доказать.