Страница 196 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

803. На одной стороне угла B отметили точки D и A, а на другой — точки E и C (рис. 391) так, что $AC \perp BC$, $DE \perp BC$, $CD \perp AB$. Найдите отрезок DE, если $\angle B = 30^\circ$, $AC = 12 \text{ см}$.

Рис. 391

Для нахождения длины отрезка DE последовательно рассмотрим три прямоугольных треугольника, которые определены в условии задачи.

Сначала рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (угол C — прямой, так как $AC \perp BC$). В этом треугольнике известен угол $ \angle B = 30^\circ $ и противолежащий ему катет $AC = 12$ см. Используя определение тангенса, найдем длину катета BC:

$ \tan(B) = \frac{AC}{BC} \implies BC = \frac{AC}{\tan(30^\circ)} = \frac{12}{1/\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} $ см.

Далее, рассмотрим прямоугольный треугольник BCD (угол D — прямой, так как $CD \perp AB$). В нем гипотенузой является сторона BC, $BC = 12\sqrt{3}$ см, а угол $ \angle B = 30^\circ $. Найдем длину катета BD, который прилежит к углу B, используя определение косинуса:

$ \cos(B) = \frac{BD}{BC} \implies BD = BC \cdot \cos(30^\circ) = 12\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{12 \cdot 3}{2} = 18 $ см.

Наконец, рассмотрим прямоугольный треугольник BDE (угол E — прямой, так как $DE \perp BC$). Его гипотенузой является сторона BD, $BD = 18$ см, а угол $ \angle B = 30^\circ $. Искомый отрезок DE является катетом, противолежащим углу B. Найдем его длину, используя определение синуса:

$ \sin(B) = \frac{DE}{BD} \implies DE = BD \cdot \sin(30^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9 $ см.

Ответ: 9 см.

804. Найдите угол между прямыми, на которых лежат две медианы равностороннего треугольника.

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$. В таком треугольнике все стороны равны, и все углы равны $60^\circ$. Пусть медианы $AM$ и $BN$ проведены из вершин $A$ и $B$ соответственно. Точка их пересечения — $O$.

Ключевым свойством равностороннего треугольника является то, что его медианы одновременно являются биссектрисами и высотами.

Так как медиана $AM$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, она делит его на два равных угла:

$\angle BAM = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

Аналогично, медиана $BN$ является биссектрисой угла $\angle ABC$:

$\angle ABN = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

Теперь рассмотрим треугольник $AOB$, образованный двумя сторонами медиан и стороной исходного треугольника. Мы знаем два его угла:

• $\angle OAB = \angle BAM = 30^\circ$
• $\angle OBA = \angle ABN = 30^\circ$

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем третий угол треугольника $AOB$, который является одним из углов между медианами:

$\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA)$

$\angle AOB = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Медианы $AM$ и $BN$ при пересечении образуют две пары вертикальных углов. Одна пара углов равна $120^\circ$. Углы из другой пары являются смежными к углам первой и равны:

$180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

По определению, углом между двумя пересекающимися прямыми принято считать меньший из образованных углов (острый угол).

Таким образом, угол между прямыми, на которых лежат две медианы равностороннего треугольника, равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

805. Отрезки $AC$, $AB$ и $BC$ – соответственно диаметр и хорды окружности с центром $O$, причём $AB = BC$. Найдите угол $AOB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COB$, образованные хордами $AB$ и $BC$, и радиусами $OA$, $OB$, $OC$.

По условию, $AC$ является диаметром, а $O$ — центром окружности. Следовательно, отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ являются радиусами этой окружности, и они равны между собой: $OA = OB = OC$.

Сравним треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COB$:

1. $OA = OC$ (как радиусы).
2. $OB$ — общая сторона.
3. $AB = BC$ (по условию задачи).

Таким образом, $\triangle AOB = \triangle COB$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, центральные углы, соответствующие равным хордам, равны: $\angle AOB = \angle COB$.

Угол $\angle AOC$ является развернутым, так как его стороны лежат на диаметре $AC$. Величина развернутого угла равна $180^\circ$.

Этот угол состоит из двух смежных углов $\angle AOB$ и $\angle COB$: $\angle AOC = \angle AOB + \angle COB$

Так как $\angle AOB = \angle COB$, мы можем переписать это уравнение следующим образом: $180^\circ = \angle AOB + \angle AOB = 2 \cdot \angle AOB$

Отсюда найдем величину угла $\angle AOB$: $\angle AOB = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

Ответ: $90^\circ$

806. Диаметры $AB$ и $CD$ окружности с центром $O$ перпендикулярны. На диаметре $AB$ по разные стороны от центра $O$ отметили точки $E$ и $F$ так, что $CE = DF$. Докажите, что $OE = OF$.

Рассмотрим треугольники $\triangle COE$ и $\triangle DOF$. По условию задачи диаметры $AB$ и $CD$ перпендикулярны, следовательно, $AB \perp CD$. Так как точки $E$ и $F$ лежат на диаметре $AB$, а $O$ — центр окружности, то $\angle COE = 90^\circ$ и $\angle DOF = 90^\circ$. Таким образом, треугольники $\triangle COE$ и $\triangle DOF$ являются прямоугольными.

Сравним эти прямоугольные треугольники.Катет $OC$ треугольника $\triangle COE$ равен катету $OD$ треугольника $\triangle DOF$, поскольку оба являются радиусами одной и той же окружности ($OC = OD$).Гипотенуза $CE$ треугольника $\triangle COE$ равна гипотенузе $DF$ треугольника $\triangle DOF$ по условию ($CE = DF$).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle COE$ и $\triangle DOF$ равны по катету и гипотенузе. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, то есть катет $OE$ равен катету $OF$.Таким образом, $OE = OF$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

807. Отрезки $MK$ и $NP$ – непараллельные хорды окружности с центром $O$, $MK = NP$, точки $A$ и $B$ – середины хорд $MK$ и $NP$ соответственно. Докажите, что $\angle OAB = \angle OBA$.

Рассмотрим треугольник $ΔOAB$.

По условию, точка $A$ является серединой хорды $MK$. По свойству хорды, отрезок, соединяющий центр окружности с серединой хорды, перпендикулярен этой хорде. Следовательно, $OA ⊥ MK$. Это означает, что длина отрезка $OA$ является расстоянием от центра окружности $O$ до хорды $MK$.

Аналогично, точка $B$ является серединой хорды $NP$. Следовательно, $OB ⊥ NP$, и длина отрезка $OB$ является расстоянием от центра $O$ до хорды $NP$.

В условии задачи дано, что хорды равны: $MK = NP$. Согласно свойству окружности, равные хорды равноудалены от ее центра. Так как $OA$ и $OB$ — это расстояния от центра до хорд $MK$ и $NP$ соответственно, то из равенства хорд следует равенство этих расстояний: $OA = OB$.

Теперь рассмотрим треугольник $ΔOAB$. Поскольку две его стороны равны ($OA = OB$), он является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $∠OAB = ∠OBA$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $∠OAB = ∠OBA$ доказано.

808. Каждая из хорд $AB$ и $BC$ равна радиусу окружности. Найдите угол $\angle ABC$.

Пусть $O$ — центр окружности, а $R$ — ее радиус. Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности.

По условию задачи, длины хорд $AB$ и $BC$ равны радиусу окружности, то есть $AB = R$ и $BC = R$.

Соединим центр окружности $O$ с точками $A$, $B$ и $C$. Отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ являются радиусами, поэтому их длины также равны $R$: $OA = OB = OC = R$.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Длины всех его сторон равны $R$ ($OA = OB = AB = R$). Следовательно, треугольник $AOB$ является равносторонним. Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$. В частности, нас интересует угол при вершине $B$: $\angle OBA = 60^\circ$.

Аналогично рассмотрим треугольник $BOC$. Длины всех его сторон равны $R$ ($OB = OC = BC = R$). Следовательно, треугольник $BOC$ также является равносторонним. Угол при вершине $B$ в этом треугольнике равен $\angle OBC = 60^\circ$.

Угол $\angle ABC$ состоит из двух смежных углов $\angle OBA$ и $\angle OBC$. Поскольку центр окружности $O$ находится внутри угла $\angle ABC$, мы можем найти его величину, сложив величины этих двух углов. Таким образом, искомый угол равен: $\angle ABC = \angle OBA + \angle OBC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

809. Докажите, что касательные к окружности, проведённые через концы диаметра, параллельны.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Пусть прямая $a$ является касательной к окружности в точке $A$, а прямая $b$ — касательной в точке $B$. Нам необходимо доказать, что прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).

Согласно свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Таким образом, радиус $OA$ перпендикулярен касательной $a$. Это означает, что угол между прямой $a$ и радиусом $OA$ равен $90^\circ$.

Аналогично, радиус $OB$ перпендикулярен касательной $b$, и угол между прямой $b$ и радиусом $OB$ равен $90^\circ$.

Диаметр $AB$ представляет собой прямую линию, проходящую через точки $A$, $O$ и $B$. Следовательно, радиусы $OA$ и $OB$ лежат на одной прямой $AB$.

Из этого следует, что прямая $a$ перпендикулярна прямой $AB$ ($a \perp AB$), и прямая $b$ перпендикулярна прямой $AB$ ($b \perp AB$).

По признаку параллельности двух прямых, если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же третьей прямой, то они параллельны.

Так как обе касательные $a$ и $b$ перпендикулярны одной и той же прямой (диаметру $AB$), то они параллельны друг другу. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Касательные, проведённые к окружности через концы диаметра, параллельны.

810. Диаметр $AB$ делит каждую из хорд $MN$ и $PK$, отличных от диаметра, пополам. Докажите, что $MN \parallel PK$.

Для доказательства воспользуемся свойством хорды и диаметра в окружности. Свойство гласит: если диаметр делит хорду, отличную от диаметра, пополам, то этот диаметр перпендикулярен данной хорде.

Рассмотрим хорду $MN$. По условию задачи, она не является диаметром и диаметр $AB$ делит ее пополам. Следовательно, согласно указанному свойству, диаметр $AB$ перпендикулярен хорде $MN$. Это можно записать как $AB \perp MN$.

Теперь рассмотрим хорду $PK$. Аналогично, она не является диаметром, и диаметр $AB$ делит ее пополам. Применяя то же свойство, мы заключаем, что диаметр $AB$ перпендикулярен хорде $PK$, то есть $AB \perp PK$.

Мы получили, что прямые, содержащие хорды $MN$ и $PK$, обе перпендикулярны одной и той же прямой, содержащей диаметр $AB$. Согласно теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Таким образом, из того, что $MN \perp AB$ и $PK \perp AB$, следует, что $MN \parallel PK$, что и требовалось доказать.

Ответ: Поскольку диаметр $AB$ делит пополам каждую из хорд $MN$ и $PK$ (которые не являются диаметрами), он перпендикулярен им обеим ($AB \perp MN$ и $AB \perp PK$). Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны между собой. Следовательно, $MN \parallel PK$.

811. Докажите, что центр окружности равноудалён от любой касательной к окружности.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Возьмем произвольную прямую $a$, которая является касательной к этой окружности. Пусть $A$ — точка касания прямой $a$ и окружности.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. Нам необходимо доказать, что расстояние от центра $O$ до любой касательной к окружности есть величина постоянная.

Воспользуемся основным свойством касательной: радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. В нашем случае это означает, что радиус $OA$ перпендикулярен касательной $a$. Математически это записывается как $OA \perp a$.

Из этого следует, что отрезок $OA$ и есть тот самый перпендикуляр, опущенный из центра окружности $O$ на касательную $a$. Следовательно, по определению, расстояние от точки $O$ до прямой $a$ равно длине отрезка $OA$.

Точка касания $A$ по определению лежит на окружности. Все точки, лежащие на окружности, находятся на одинаковом расстоянии от ее центра, и это расстояние равно радиусу $R$. Таким образом, длина отрезка $OA$ равна радиусу окружности: $OA = R$.

Мы установили, что расстояние от центра $O$ до произвольно выбранной касательной $a$ равно радиусу $R$. Поскольку радиус $R$ для данной окружности является постоянной величиной, то расстояние от ее центра до любой касательной всегда будет одинаковым и равным $R$. Таким образом, центр окружности равноудалён от любой касательной к ней, что и требовалось доказать.

Ответ: Расстояние от центра окружности до любой касательной равно радиусу этой окружности. Так как для конкретной окружности радиус является постоянной величиной, то центр окружности равноудалён от всех её касательных.

к окружности.

812. Через точку $A$ к окружности с центром $O$ проведены касательные $AM$ и $AK$, $M$ и $K$ — точки касания. Точка пересечения отрезка $OA$ с окружностью является серединой этого отрезка. Найдите угол $\angle MAK$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔAMO$, где $O$ — центр окружности, $A$ — точка, из которой проведены касательные, и $M$ — точка касания.

1. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OM \perp AM$, и угол $∠AMO = 90°$. Таким образом, треугольник $ΔAMO$ является прямоугольным.

2. Обозначим радиус окружности как $r$. Тогда длина катета $OM$ равна $r$.

3. Согласно условию, точка пересечения отрезка $OA$ с окружностью является серединой этого отрезка. Пусть эта точка — $P$. Так как точка $P$ лежит на окружности, то расстояние от нее до центра $O$ равно радиусу, то есть $OP = r$.

4. Поскольку $P$ — середина отрезка $OA$, то $AP = OP$. Из этого следует, что $AP = r$.

5. Длина гипотенузы $OA$ в треугольнике $ΔAMO$ равна сумме длин отрезков $AP$ и $OP$:

$OA = AP + OP = r + r = 2r$

6. Теперь в прямоугольном треугольнике $ΔAMO$ известны длина катета $OM = r$ и гипотенузы $OA = 2r$. Найдем синус угла $∠MAO$:

$ \sin(\angle MAO) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OM}{OA} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2} $

7. Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30°$. Следовательно, $∠MAO = 30°$. (Также это следует из свойства прямоугольного треугольника: катет, лежащий напротив угла в $30°$, равен половине гипотенузы).

8. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезок $OA$, соединяющий эту точку с центром окружности, является биссектрисой угла между касательными ($∠MAK$). Это следует из равенства прямоугольных треугольников $ΔAMO$ и $ΔAKO$ (по гипотенузе и катету). Таким образом, $∠MAK = 2 \cdot ∠MAO$.

9. Вычислим искомый угол $∠MAK$:

$ \angle MAK = 2 \cdot 30° = 60° $

Ответ: 60°.

813. Прямая, параллельная хорде $AC$ окружности, касается этой окружности в точке $B$. Докажите, что $\triangle ABC$ равнобедренный.

Для того чтобы доказать, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, необходимо доказать, что две его стороны равны. В данном случае докажем, что $AB = BC$. Это будет следовать из равенства углов при основании $AC$, то есть, если мы докажем, что $\angle BAC = \angle BCA$.

Пусть $l$ — прямая, которая касается окружности в точке $B$. По условию задачи, эта прямая параллельна хорде $AC$, то есть $l \parallel AC$.

Рассмотрим угол между касательной $l$ и хордой $BC$, проведенной через точку касания. Обозначим этот угол как $\alpha$.

1. Согласно теореме об угле между касательной и хордой, величина угла между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равна половине угловой величины дуги, заключенной между ними. Также этот угол равен любому вписанному углу, опирающемуся на эту дугу. Вписанным углом, опирающимся на дугу $BC$, является угол $\angle BAC$. Таким образом, мы получаем:

$\angle BAC = \alpha$

2. Так как по условию прямая $l$ параллельна хорде $AC$ ($l \parallel AC$), а прямая $BC$ является секущей для этих параллельных прямых, то угол $\alpha$ и угол $\angle BCA$ являются накрест лежащими углами. Следовательно, эти углы равны:

$\angle BCA = \alpha$

3. Из двух предыдущих пунктов следует, что $\angle BAC = \alpha$ и $\angle BCA = \alpha$. Значит, $\angle BAC = \angle BCA$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ углы при основании $AC$ равны, то, по признаку равнобедренного треугольника, он является равнобедренным. Стороны, противолежащие равным углам, также равны, то есть $AB = BC$.

Таким образом, доказано, что треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Ответ: Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как углы при его основании $AC$ равны ($\angle BAC = \angle BCA$). Это равенство следует из того, что оба эти угла равны углу между касательной в точке $B$ и хордой $BC$: $\angle BAC$ равен ему по теореме об угле между касательной и хордой, а $\angle BCA$ равен ему как накрест лежащий угол при параллельных прямых $AC$ и касательной. Что и требовалось доказать.

814. Радиус $OC$ окружности с центром $O$ делит пополам хорду $AB$, не являющуюся диаметром. Через точку $C$ провели касательную к окружности. Докажите, что эта касательная параллельна хорде $AB$.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Радиус $OC$ пересекает хорду $AB$ в точке $M$ и, по условию задачи, делит ее пополам. Это означает, что $M$ — середина хорды $AB$, и, следовательно, $AM = MB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Его стороны $OA$ и $OB$ равны как радиусы одной и той же окружности ($OA = OB$). Это значит, что треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным с основанием $AB$.

Отрезок $OM$ соединяет вершину $O$ с серединой основания $M$, поэтому $OM$ является медианой треугольника $\triangle AOB$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, отрезок $OM$ перпендикулярен основанию $AB$, то есть $OM \perp AB$.

Поскольку радиус $OC$ содержит отрезок $OM$, то прямая, на которой лежит радиус $OC$, перпендикулярна прямой, на которой лежит хорда $AB$. Запишем это как $OC \perp AB$.

Теперь рассмотрим касательную, проведенную через точку $C$. Обозначим эту касательную как прямую $l$. По свойству касательной к окружности, она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Таким образом, касательная $l$ перпендикулярна радиусу $OC$, то есть $l \perp OC$.

Мы установили, что хорда $AB$ и касательная $l$ перпендикулярны одной и той же прямой, содержащей радиус $OC$. Согласно признаку параллельности прямых, если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же третьей прямой, то они параллельны между собой.

Следовательно, $l \parallel AB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Так как радиус, делящий хорду пополам, перпендикулярен этой хорде ($OC \perp AB$), а касательная в конечной точке радиуса также перпендикулярна ему ($l \perp OC$), то хорда и касательная параллельны друг другу как две прямые, перпендикулярные третьей.

815. Окружность, центр которой принадлежит биссектрисе угла, пересекает каждую из его сторон в двух точках. Докажите, что отрезки, которые отсекает окружность на сторонах угла, равны.

Пусть дан угол с вершиной в точке $A$. Обозначим его стороны как лучи $l_1$ и $l_2$. Пусть $b$ - биссектриса этого угла. Дана окружность с центром $O$ и радиусом $R$. По условию задачи, центр $O$ лежит на биссектрисе $b$. Окружность пересекает сторону $l_1$ в двух точках, которые образуют хорду $MN$. Аналогично, окружность пересекает сторону $l_2$ в двух точках, которые образуют хорду $PQ$. Нам необходимо доказать, что длины этих хорд равны, то есть $MN = PQ$.

Ключевым свойством биссектрисы угла является то, что любая ее точка равноудалена от сторон угла. Поскольку центр окружности $O$ лежит на биссектрисе $b$, расстояние от точки $O$ до стороны $l_1$ равно расстоянию от точки $O$ до стороны $l_2$.

Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра на хорду. Опустим перпендикуляр $OH_1$ из центра $O$ на хорду $MN$ (лежащую на стороне $l_1$) и перпендикуляр $OH_2$ из центра $O$ на хорду $PQ$ (лежащую на стороне $l_2$). Из свойства биссектрисы следует, что длины этих перпендикуляров равны: $OH_1 = OH_2$.

Теперь докажем, что хорды, равноудаленные от центра, равны. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, перпендикуляром к хорде и половиной хорды. Для хорды $MN$ рассмотрим $\triangle OH_1M$. Гипотенуза $OM$ равна радиусу $R$. По теореме Пифагора: $OM^2 = OH_1^2 + H_1M^2$ Перпендикуляр из центра к хорде делит ее пополам, поэтому $H_1$ — середина $MN$, и $H_1M = \frac{1}{2}MN$. Подставляя, получаем: $R^2 = OH_1^2 + \left(\frac{MN}{2}\right)^2$ Отсюда выразим длину хорды $MN$: $\left(\frac{MN}{2}\right)^2 = R^2 - OH_1^2 \implies MN = 2\sqrt{R^2 - OH_1^2}$

Аналогичные рассуждения проведем для хорды $PQ$. В $\triangle OH_2P$: $OP^2 = OH_2^2 + H_2P^2$ Поскольку $H_2$ — середина хорды $PQ$, то $H_2P = \frac{1}{2}PQ$. $R^2 = OH_2^2 + \left(\frac{PQ}{2}\right)^2$ Отсюда выразим длину хорды $PQ$: $PQ = 2\sqrt{R^2 - OH_2^2}$

Поскольку мы установили, что $OH_1 = OH_2$, правые части выражений для $MN$ и $PQ$ равны: $MN = 2\sqrt{R^2 - OH_1^2} = 2\sqrt{R^2 - OH_2^2} = PQ$. Следовательно, $MN = PQ$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Длины отрезков (хорд) равны, так как центр окружности, находясь на биссектрисе, равноудален от сторон угла. В свою очередь, хорды окружности, находящиеся на одинаковом расстоянии от ее центра, имеют равную длину.

816. Через точку $M$ проведены касательные $MK$ и $ME$ к окружности с центром в точке $O$, где $K$ и $E$ — точки касания, $\angle OMK = 30^{\circ}$, $MK = 6 \text{ см}$. Найдите длину хорды $KE$.

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных равны. Следовательно, $MK = ME = 6$ см.

Это означает, что треугольник $\triangle MKE$ является равнобедренным с основанием $KE$.

Также по свойству касательных, прямая $MO$, соединяющая точку $M$ с центром окружности $O$, является биссектрисой угла $\angle KME$.

Из условия задачи известно, что $\angle OMK = 30^\circ$. Тогда угол $\angle KME$ равен:

$\angle KME = 2 \cdot \angle OMK = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Мы имеем равнобедренный треугольник $\triangle MKE$, у которого угол при вершине $\angle KME$ равен $60^\circ$. Такой треугольник является равносторонним, так как углы при его основании также равны $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$.

Поскольку треугольник $\triangle MKE$ равносторонний, все его стороны равны:

$KE = MK = ME = 6$ см.

Ответ: 6 см.