Номер 810, страница 196 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Окружность и круг. Геометрические построения. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 810, страница 196.

810. Диаметр $AB$ делит каждую из хорд $MN$ и $PK$, отличных от диаметра, пополам. Докажите, что $MN \parallel PK$.

Для доказательства воспользуемся свойством хорды и диаметра в окружности. Свойство гласит: если диаметр делит хорду, отличную от диаметра, пополам, то этот диаметр перпендикулярен данной хорде.

Рассмотрим хорду $MN$. По условию задачи, она не является диаметром и диаметр $AB$ делит ее пополам. Следовательно, согласно указанному свойству, диаметр $AB$ перпендикулярен хорде $MN$. Это можно записать как $AB \perp MN$.

Теперь рассмотрим хорду $PK$. Аналогично, она не является диаметром, и диаметр $AB$ делит ее пополам. Применяя то же свойство, мы заключаем, что диаметр $AB$ перпендикулярен хорде $PK$, то есть $AB \perp PK$.

Мы получили, что прямые, содержащие хорды $MN$ и $PK$, обе перпендикулярны одной и той же прямой, содержащей диаметр $AB$. Согласно теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Таким образом, из того, что $MN \perp AB$ и $PK \perp AB$, следует, что $MN \parallel PK$, что и требовалось доказать.

Ответ: Поскольку диаметр $AB$ делит пополам каждую из хорд $MN$ и $PK$ (которые не являются диаметрами), он перпендикулярен им обеим ($AB \perp MN$ и $AB \perp PK$). Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны между собой. Следовательно, $MN \parallel PK$.