Номер 813, страница 196 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Окружность и круг. Геометрические построения. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 813, страница 196.

813. Прямая, параллельная хорде $AC$ окружности, касается этой окружности в точке $B$. Докажите, что $\triangle ABC$ равнобедренный.

Для того чтобы доказать, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, необходимо доказать, что две его стороны равны. В данном случае докажем, что $AB = BC$. Это будет следовать из равенства углов при основании $AC$, то есть, если мы докажем, что $\angle BAC = \angle BCA$.

Пусть $l$ — прямая, которая касается окружности в точке $B$. По условию задачи, эта прямая параллельна хорде $AC$, то есть $l \parallel AC$.

Рассмотрим угол между касательной $l$ и хордой $BC$, проведенной через точку касания. Обозначим этот угол как $\alpha$.

1. Согласно теореме об угле между касательной и хордой, величина угла между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равна половине угловой величины дуги, заключенной между ними. Также этот угол равен любому вписанному углу, опирающемуся на эту дугу. Вписанным углом, опирающимся на дугу $BC$, является угол $\angle BAC$. Таким образом, мы получаем:

$\angle BAC = \alpha$

2. Так как по условию прямая $l$ параллельна хорде $AC$ ($l \parallel AC$), а прямая $BC$ является секущей для этих параллельных прямых, то угол $\alpha$ и угол $\angle BCA$ являются накрест лежащими углами. Следовательно, эти углы равны:

$\angle BCA = \alpha$

3. Из двух предыдущих пунктов следует, что $\angle BAC = \alpha$ и $\angle BCA = \alpha$. Значит, $\angle BAC = \angle BCA$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ углы при основании $AC$ равны, то, по признаку равнобедренного треугольника, он является равнобедренным. Стороны, противолежащие равным углам, также равны, то есть $AB = BC$.

Таким образом, доказано, что треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Ответ: Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как углы при его основании $AC$ равны ($\angle BAC = \angle BCA$). Это равенство следует из того, что оба эти угла равны углу между касательной в точке $B$ и хордой $BC$: $\angle BAC$ равен ему по теореме об угле между касательной и хордой, а $\angle BCA$ равен ему как накрест лежащий угол при параллельных прямых $AC$ и касательной. Что и требовалось доказать.