Номер 819, страница 197 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Окружность и круг. Геометрические построения. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 819, страница 197.

819. В треугольнике $ABC$ $AB = BC$, точка $O$ – центр вписанной окружности, точки $D$ и $E$ – точки касания вписанной окружности со сторонами $AC$ и $AB$ соответственно, $\angle ABC = 48^\circ$. Найдите угол $DOE$.

По условию задачи в треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC$, следовательно, треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому мы можем найти углы при основании $AC$.

$\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - \angle ABC) / 2$

Подставим известное значение $\angle ABC = 48^\circ$:

$\angle BAC = (180^\circ - 48^\circ) / 2 = 132^\circ / 2 = 66^\circ$.

Точка $O$ — центр вписанной окружности, а $D$ и $E$ — точки касания этой окружности со сторонами $AC$ и $AB$ соответственно. Радиусы, проведенные к точкам касания, перпендикулярны касательным (сторонам треугольника). Таким образом, $OD \perp AC$ и $OE \perp AB$. Отсюда следует, что $\angle ODA = 90^\circ$ и $\angle OEA = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $AEOD$. Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. Углы этого четырехугольника: $\angle EAD$ (что то же самое, что и $\angle BAC$), $\angle AEO$, $\angle EOD$ и $\angle ODA$.

$\angle EAD + \angle AEO + \angle EOD + \angle ODA = 360^\circ$

Подставим известные нам значения углов:

$66^\circ + 90^\circ + \angle EOD + 90^\circ = 360^\circ$

$246^\circ + \angle EOD = 360^\circ$

$\angle EOD = 360^\circ - 246^\circ = 114^\circ$.

Искомый угол $DOE$ равен $114^\circ$.

Ответ: $114^\circ$.