Номер 817, страница 197 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Окружность и круг. Геометрические построения. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 817, страница 197.

817. Докажите, что хорда окружности, которая перпендикулярна другой хорде этой окружности и проходит через её середину, является диаметром данной окружности.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Пусть $AB$ и $CD$ — две хорды этой окружности, которые пересекаются в точке $M$.

По условию задачи, хорда $CD$ перпендикулярна хорде $AB$ ($CD \perp AB$) и проходит через ее середину $M$ ($AM = MB$).

Требуется доказать, что хорда $CD$ является диаметром. Диаметр — это хорда, проходящая через центр окружности.

Доказательство.

Прямая, содержащая хорду $CD$, проходит через середину хорды $AB$ и перпендикулярна ей. По определению, такая прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

Рассмотрим центр окружности $O$. Соединим его с концами хорды $A$ и $B$. Отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами данной окружности, поэтому их длины равны: $OA = OB$. Это означает, что центр окружности $O$ равноудален от концов хорды $AB$.

Согласно свойству серединного перпендикуляра, все точки, равноудаленные от концов отрезка, лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Так как точка $O$ равноудалена от $A$ и $B$, она должна лежать на серединном перпендикуляре к $AB$. Мы уже установили, что этим серединным перпендикуляром является прямая, содержащая хорду $CD$.

Следовательно, центр окружности $O$ лежит на хорде $CD$.

По определению, хорда, проходящая через центр окружности, является ее диаметром. Таким образом, хорда $CD$ — это диаметр данной окружности, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Хорда, которая перпендикулярна другой хорде и делит ее пополам, является ее серединным перпендикуляром. Центр окружности равноудален от концов любой хорды, так как эти расстояния равны радиусу. По свойству серединного перпендикуляра, он содержит все точки, равноудаленные от концов отрезка, следовательно, он содержит и центр окружности. Таким образом, хорда, лежащая на серединном перпендикуляре к другой хорде, проходит через центр окружности и является ее диаметром.