Номер 823, страница 197 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Окружность и круг. Геометрические построения. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 823, страница 197.

823. Через данную точку A, не принадлежащую данной прямой, проведите прямую, образующую с данной прямой данный угол.

Задача заключается в построении прямой, проходящей через заданную точку $A$ и образующей заданный угол $\alpha$ с заданной прямой $l$, которой точка $A$ не принадлежит. Решение этой задачи на построение можно разбить на несколько этапов: анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

Пусть дана прямая $l$, точка $A \notin l$ и угол $\alpha$. Требуется построить прямую $m$, такую что $A \in m$ и угол между $m$ и $l$ равен $\alpha$.

Основная идея решения состоит в том, чтобы свести задачу к последовательности уже известных базовых построений. Если мы построим некоторую вспомогательную прямую $m'$, которая пересекает прямую $l$ под углом $\alpha$, то искомая прямая $m$ должна быть ей параллельна ($m \parallel m'$). Это следует из свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей: соответственные углы равны. Если прямая $l$ будет секущей для параллельных прямых $m$ и $m'$, то угол между $m$ и $l$ будет равен углу между $m'$ и $l$.

Таким образом, задача сводится к выполнению двух стандартных построений с помощью циркуля и линейки:

1. Построение прямой $m'$, образующей с данной прямой $l$ заданный угол $\alpha$.
2. Построение прямой $m$, проходящей через данную точку $A$ параллельно прямой $m'$.

Построение

Алгоритм построения искомой прямой:

1. На данной прямой $l$ выбираем произвольную точку $B$.
2. С помощью циркуля и линейки строим прямую $m'$, проходящую через точку $B$ и образующую с прямой $l$ угол $\alpha$. Для этого от одного из лучей прямой $l$ с началом в точке $B$ откладываем угол, равный данному углу $\alpha$.
3. Теперь строим прямую $m$, проходящую через точку $A$ параллельно прямой $m'$. Для этого проведем через точки $A$ и $B$ прямую (секущую).
4. Угол, образованный секущей $AB$ и прямой $m'$, копируем в точку $A$ таким образом, чтобы новый угол и исходный были соответственными или накрест лежащими.
5. Проводим прямую $m$ через точку $A$ и вторую сторону построенного угла. Эта прямая и будет искомой.

Доказательство

Построенная прямая $m$ проходит через точку $A$ по построению (шаг 5).

Поскольку соответственные (или накрест лежащие) углы, образованные при пересечении прямых $m$ и $m'$ секущей $AB$, равны по построению (шаг 4), то прямые $m$ и $m'$ параллельны: $m \parallel m'$.

Так как $m \parallel m'$, а прямая $l$ их пересекает, то соответственные углы, образованные этими прямыми с секущей $l$, равны. Угол между вспомогательной прямой $m'$ и прямой $l$ по построению равен $\alpha$ (шаг 2). Следовательно, угол между искомой прямой $m$ и данной прямой $l$ также равен $\alpha$. Таким образом, построенная прямая $m$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Рассмотрим, сколько решений может иметь задача. Угол между прямыми по определению считается нетупым, то есть $0^\circ < \alpha \leq 90^\circ$.

• Если $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ (угол острый): на шаге 2 мы можем построить две разные вспомогательные прямые $m'$, откладывая угол $\alpha$ по разные стороны от прямой $l$ (или, что эквивалентно, образуя с ней углы $\alpha$ и $180^\circ - \alpha$). Каждая из этих двух прямых (которые симметричны относительно прямой $l$) породит свою искомую прямую, проходящую через $A$. В результате мы получим две прямые, которые симметричны друг другу относительно перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $l$. Таким образом, в этом случае задача имеет два решения.
• Если $\alpha = 90^\circ$ (угол прямой): вспомогательная прямая $m'$ будет перпендикулярна прямой $l$. Прямая $m$, параллельная $m'$ и проходящая через $A$, также будет перпендикулярна $l$. Так как через точку, не лежащую на прямой, можно провести только один перпендикуляр к этой прямой, то в этом случае задача имеет одно решение.

Ответ:

Алгоритм построения искомой прямой следующий:

1. На данной прямой $l$ выбрать произвольную точку $B$.
2. Построить вспомогательную прямую $m'$, проходящую через точку $B$ и образующую с прямой $l$ заданный угол $\alpha$.
3. Построить прямую $m$, проходящую через точку $A$ и параллельную прямой $m'$. Прямая $m$ является искомой.

Задача имеет следующее количество решений в зависимости от величины угла $\alpha$ (где $0^\circ < \alpha \leq 90^\circ$):

• Два решения, если угол $\alpha$ острый ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$).
• Одно решение, если угол $\alpha$ прямой ($\alpha = 90^\circ$).