Номер 818, страница 197 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Окружность и круг. Геометрические построения. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 818, страница 197.

818. Отрезки $AB$, $AC$ и $BD$ соответственно диаметр и хорды окружности, причём $AC \parallel BD$. Докажите, что отрезок $CD$ – диаметр окружности.

Доказательство

По условию задачи, отрезок $AB$ является диаметром окружности, а отрезки $AC$ и $BD$ — хордами. Также известно, что хорда $AC$ параллельна хорде $BD$ ($AC \parallel BD$).

В окружности параллельные хорды высекают равные дуги. Следовательно, дуги, заключённые между хордами $AC$ и $BD$, равны между собой. То есть, градусная мера дуги $AD$ равна градусной мере дуги $BC$.

$\text{дуга } AD = \text{дуга } BC$

Поскольку $AB$ — это диаметр, он делит окружность на две полуокружности, каждая из которых имеет градусную меру $180^\circ$. Рассмотрим полуокружность, проходящую через точку $C$. Градусная мера дуги $ACB$ равна $180^\circ$. Это можно представить в виде суммы дуг:

$\text{дуга } AC + \text{дуга } CB = 180^\circ$

Чтобы доказать, что отрезок $CD$ является диаметром, нужно показать, что он стягивает дугу, равную $180^\circ$. Рассмотрим дугу $CAD$. Её градусная мера равна сумме градусных мер дуг $CA$ и $AD$:

$\text{дуга } CAD = \text{дуга } CA + \text{дуга } AD$

Так как мы ранее установили, что $\text{дуга } AD = \text{дуга } BC$, мы можем выполнить подстановку в последнем равенстве:

$\text{дуга } CAD = \text{дуга } CA + \text{дуга } BC$

Как было показано выше, сумма дуг $CA$ и $BC$ равна $180^\circ$. Следовательно:

$\text{дуга } CAD = 180^\circ$

Хорда, стягивающая дугу в $180^\circ$, является диаметром окружности. Таким образом, отрезок $CD$ — диаметр окружности, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что отрезок $CD$ является диаметром.