Номер 821, страница 197 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Окружность и круг. Геометрические построения. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 821, страница 197.

821. Биссектрисы $AD$ и $CE$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O_1$, биссектрисы $EF$ и $DK$ треугольника $DEB$ пересекаются в точке $O_2$. Докажите, что точки $B$, $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой.

Для доказательства того, что точки $B$, $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой, необходимо показать, что они принадлежат одной и той же биссектрисе угла с вершиной в точке $B$.

Свойство точки $O_1$

В треугольнике $ABC$ точка $O_1$ является точкой пересечения биссектрис $AD$ и $CE$. По определению, точка пересечения биссектрис треугольника является его инцентром (центром вписанной окружности). Все три биссектрисы треугольника пересекаются в инцентре. Следовательно, биссектриса угла $\angle ABC$ также проходит через точку $O_1$. Это означает, что точки $B$ и $O_1$ лежат на биссектрисе угла $\angle ABC$.

Свойство точки $O_2$

В треугольнике $DEB$ точка $O_2$ является точкой пересечения биссектрис $EF$ и $DK$. Аналогично предыдущему пункту, точка $O_2$ является инцентром треугольника $DEB$. Следовательно, биссектриса угла $\angle DBE$ также проходит через точку $O_2$. Это означает, что точки $B$ и $O_2$ лежат на биссектрисе угла $\angle DBE$.

Доказательство коллинеарности точек $B$, $O_1$ и $O_2$

Рассмотрим углы $\angle ABC$ и $\angle DBE$. По условию, точка $D$ лежит на стороне $BC$, а точка $E$ — на стороне $AB$. Это значит, что луч $BD$ совпадает с лучом $BC$, а луч $BE$ совпадает с лучом $BA$. Следовательно, углы $\angle ABC$ и $\angle DBE$ являются одним и тем же углом.

Мы установили, что:

• точки $B$ и $O_1$ лежат на биссектрисе угла $\angle ABC$;
• точки $B$ и $O_2$ лежат на биссектрисе угла $\angle DBE$.

Поскольку $\angle ABC = \angle DBE$, их биссектрисы совпадают. У каждого угла есть только одна биссектриса. Таким образом, прямая, содержащая биссектрису угла $\angle ABC$, является той же прямой, что содержит биссектрису угла $\angle DBE$.

Так как точки $B$, $O_1$ и $O_2$ принадлежат этой единственной прямой (биссектрисе угла при вершине $B$), они лежат на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать. Точки $B$, $O_1$ и $O_2$ лежат на биссектрисе угла $\angle B$, а следовательно, на одной прямой.