Номер 815, страница 196 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Окружность и круг. Геометрические построения. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 815, страница 196.

815. Окружность, центр которой принадлежит биссектрисе угла, пересекает каждую из его сторон в двух точках. Докажите, что отрезки, которые отсекает окружность на сторонах угла, равны.

Пусть дан угол с вершиной в точке $A$. Обозначим его стороны как лучи $l_1$ и $l_2$. Пусть $b$ - биссектриса этого угла. Дана окружность с центром $O$ и радиусом $R$. По условию задачи, центр $O$ лежит на биссектрисе $b$. Окружность пересекает сторону $l_1$ в двух точках, которые образуют хорду $MN$. Аналогично, окружность пересекает сторону $l_2$ в двух точках, которые образуют хорду $PQ$. Нам необходимо доказать, что длины этих хорд равны, то есть $MN = PQ$.

Ключевым свойством биссектрисы угла является то, что любая ее точка равноудалена от сторон угла. Поскольку центр окружности $O$ лежит на биссектрисе $b$, расстояние от точки $O$ до стороны $l_1$ равно расстоянию от точки $O$ до стороны $l_2$.

Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра на хорду. Опустим перпендикуляр $OH_1$ из центра $O$ на хорду $MN$ (лежащую на стороне $l_1$) и перпендикуляр $OH_2$ из центра $O$ на хорду $PQ$ (лежащую на стороне $l_2$). Из свойства биссектрисы следует, что длины этих перпендикуляров равны: $OH_1 = OH_2$.

Теперь докажем, что хорды, равноудаленные от центра, равны. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, перпендикуляром к хорде и половиной хорды. Для хорды $MN$ рассмотрим $\triangle OH_1M$. Гипотенуза $OM$ равна радиусу $R$. По теореме Пифагора: $OM^2 = OH_1^2 + H_1M^2$ Перпендикуляр из центра к хорде делит ее пополам, поэтому $H_1$ — середина $MN$, и $H_1M = \frac{1}{2}MN$. Подставляя, получаем: $R^2 = OH_1^2 + \left(\frac{MN}{2}\right)^2$ Отсюда выразим длину хорды $MN$: $\left(\frac{MN}{2}\right)^2 = R^2 - OH_1^2 \implies MN = 2\sqrt{R^2 - OH_1^2}$

Аналогичные рассуждения проведем для хорды $PQ$. В $\triangle OH_2P$: $OP^2 = OH_2^2 + H_2P^2$ Поскольку $H_2$ — середина хорды $PQ$, то $H_2P = \frac{1}{2}PQ$. $R^2 = OH_2^2 + \left(\frac{PQ}{2}\right)^2$ Отсюда выразим длину хорды $PQ$: $PQ = 2\sqrt{R^2 - OH_2^2}$

Поскольку мы установили, что $OH_1 = OH_2$, правые части выражений для $MN$ и $PQ$ равны: $MN = 2\sqrt{R^2 - OH_1^2} = 2\sqrt{R^2 - OH_2^2} = PQ$. Следовательно, $MN = PQ$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Длины отрезков (хорд) равны, так как центр окружности, находясь на биссектрисе, равноудален от сторон угла. В свою очередь, хорды окружности, находящиеся на одинаковом расстоянии от ее центра, имеют равную длину.