Номер 811, страница 196 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Окружность и круг. Геометрические построения. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 811, страница 196.

811. Докажите, что центр окружности равноудалён от любой касательной к окружности.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Возьмем произвольную прямую $a$, которая является касательной к этой окружности. Пусть $A$ — точка касания прямой $a$ и окружности.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. Нам необходимо доказать, что расстояние от центра $O$ до любой касательной к окружности есть величина постоянная.

Воспользуемся основным свойством касательной: радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. В нашем случае это означает, что радиус $OA$ перпендикулярен касательной $a$. Математически это записывается как $OA \perp a$.

Из этого следует, что отрезок $OA$ и есть тот самый перпендикуляр, опущенный из центра окружности $O$ на касательную $a$. Следовательно, по определению, расстояние от точки $O$ до прямой $a$ равно длине отрезка $OA$.

Точка касания $A$ по определению лежит на окружности. Все точки, лежащие на окружности, находятся на одинаковом расстоянии от ее центра, и это расстояние равно радиусу $R$. Таким образом, длина отрезка $OA$ равна радиусу окружности: $OA = R$.

Мы установили, что расстояние от центра $O$ до произвольно выбранной касательной $a$ равно радиусу $R$. Поскольку радиус $R$ для данной окружности является постоянной величиной, то расстояние от ее центра до любой касательной всегда будет одинаковым и равным $R$. Таким образом, центр окружности равноудалён от любой касательной к ней, что и требовалось доказать.

Ответ: Расстояние от центра окружности до любой касательной равно радиусу этой окружности. Так как для конкретной окружности радиус является постоянной величиной, то центр окружности равноудалён от всех её касательных.