Номер 804, страница 196 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 804, страница 196.

804. Найдите угол между прямыми, на которых лежат две медианы равностороннего треугольника.

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$. В таком треугольнике все стороны равны, и все углы равны $60^\circ$. Пусть медианы $AM$ и $BN$ проведены из вершин $A$ и $B$ соответственно. Точка их пересечения — $O$.

Ключевым свойством равностороннего треугольника является то, что его медианы одновременно являются биссектрисами и высотами.

Так как медиана $AM$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, она делит его на два равных угла:

$\angle BAM = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

Аналогично, медиана $BN$ является биссектрисой угла $\angle ABC$:

$\angle ABN = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

Теперь рассмотрим треугольник $AOB$, образованный двумя сторонами медиан и стороной исходного треугольника. Мы знаем два его угла:

• $\angle OAB = \angle BAM = 30^\circ$
• $\angle OBA = \angle ABN = 30^\circ$

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем третий угол треугольника $AOB$, который является одним из углов между медианами:

$\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA)$

$\angle AOB = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Медианы $AM$ и $BN$ при пересечении образуют две пары вертикальных углов. Одна пара углов равна $120^\circ$. Углы из другой пары являются смежными к углам первой и равны:

$180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

По определению, углом между двумя пересекающимися прямыми принято считать меньший из образованных углов (острый угол).

Таким образом, угол между прямыми, на которых лежат две медианы равностороннего треугольника, равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.