Номер 799, страница 195 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 799, страница 195.

799. На продолжениях гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ за точки $A$ и $B$ отметили соответственно точки $D$ и $E$ так, что $AC = AD, BC = BE$. Найдите угол $DCE$.

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ является прямым, то есть $\angle ACB = 90^\circ$. Обозначим величины острых углов треугольника как $\angle CAB = \alpha$ и $\angle CBA = \beta$. Известно, что сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому для прямоугольного треугольника $ABC$ сумма острых углов составляет $90^\circ$:
$\alpha + \beta = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. Согласно условию, $AC = AD$. Это означает, что треугольник $ADC$ — равнобедренный с основанием $CD$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle ACD = \angle ADC$.

Точки $D$, $A$, $B$ лежат на одной прямой, поэтому угол $\angle CAD$ и угол $\angle CAB$ являются смежными. Их сумма равна $180^\circ$. Отсюда находим угол при вершине $A$ треугольника $ADC$:
$\angle CAD = 180^\circ - \angle CAB = 180^\circ - \alpha$.

Теперь, зная угол при вершине, найдем углы при основании треугольника $ADC$:
$\angle ACD = \angle ADC = \frac{180^\circ - \angle CAD}{2} = \frac{180^\circ - (180^\circ - \alpha)}{2} = \frac{\alpha}{2}$.

Аналогично рассмотрим треугольник $BCE$. По условию, $BC = BE$, следовательно, треугольник $BCE$ — равнобедренный с основанием $CE$. Углы при его основании равны: $\angle BCE = \angle BEC$.

Точки $A$, $B$, $E$ лежат на одной прямой, поэтому угол $\angle CBE$ и угол $\angle CBA$ являются смежными. Их сумма равна $180^\circ$. Находим угол при вершине $B$ треугольника $BCE$:
$\angle CBE = 180^\circ - \angle CBA = 180^\circ - \beta$.

Найдем углы при основании треугольника $BCE$:
$\angle BCE = \angle BEC = \frac{180^\circ - \angle CBE}{2} = \frac{180^\circ - (180^\circ - \beta)}{2} = \frac{\beta}{2}$.

Искомый угол $\angle DCE$ складывается из трех смежных углов: $\angle ACD$, $\angle ACB$ и $\angle BCE$.
$\angle DCE = \angle ACD + \angle ACB + \angle BCE$.

Подставим в это выражение найденные нами значения углов:
$\angle DCE = \frac{\alpha}{2} + 90^\circ + \frac{\beta}{2} = 90^\circ + \frac{\alpha + \beta}{2}$.

Ранее мы установили, что $\alpha + \beta = 90^\circ$. Подставим это значение в формулу для $\angle DCE$:
$\angle DCE = 90^\circ + \frac{90^\circ}{2} = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$.

Ответ: $135^\circ$.