Номер 802, страница 195 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 802, страница 195.

802. В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 15^\circ$, $BC = 11$ см. На катете $AC$ отметили точку $M$ так, что $\angle BMC = 30^\circ$. Найдите отрезок $AM$.

Дано: треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 15^\circ$, $BC = 11$ см. На катете $AC$ отмечена точка $M$ так, что $\angle BMC = 30^\circ$.
Найти: $AM$.

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle ABC$:
$\angle ABC = 180^\circ - \angle C - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$.

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BMC$. В нем $\angle C = 90^\circ$ и, по условию, $\angle BMC = 30^\circ$. Найдем угол $\angle CBM$:
$\angle CBM = 180^\circ - \angle C - \angle BMC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

3. Угол $\angle ABC$ состоит из двух углов $\angle ABM$ и $\angle CBM$. Мы можем найти величину угла $\angle ABM$, вычтя из угла $\angle ABC$ угол $\angle CBM$:
$\angle ABM = \angle ABC - \angle CBM = 75^\circ - 60^\circ = 15^\circ$.

4. Рассмотрим треугольник $ABM$. Угол при вершине A, $\angle BAM$, равен $\angle A = 15^\circ$. Угол при вершине B, $\angle ABM$, как мы нашли, тоже равен $15^\circ$.
Поскольку два угла в треугольнике $ABM$ равны ($\angle BAM = \angle ABM = 15^\circ$), он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, $AM = BM$.

5. Чтобы найти длину $AM$, нам достаточно найти длину $BM$. Для этого вернемся к прямоугольному треугольнику $BMC$. В нем катет $BC$, лежащий напротив угла $\angle BMC = 30^\circ$, равен 11 см. Отрезок $BM$ является гипотенузой этого треугольника.
Воспользуемся определением синуса угла: $\sin(\angle BMC) = \frac{BC}{BM}$.
Подставим известные значения:
$\sin(30^\circ) = \frac{11}{BM}$.
Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем уравнение:
$\frac{1}{2} = \frac{11}{BM}$.
Отсюда находим $BM$:
$BM = 2 \cdot 11 = 22$ см.

6. Поскольку $AM = BM$, то $AM = 22$ см.

Ответ: 22 см.