Номер 796, страница 195 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 796, страница 195.

796. Две высоты равнобедренного треугольника при пересечении образуют угол $100^\circ$. Найдите углы данного треугольника.

Данная задача имеет несколько возможных решений, так как в условии не уточняется, какие именно две высоты равнобедренного треугольника пересекаются. Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1: Высоты проведены из вершин при основании

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, в котором $AB = BC$ и $\angle A = \angle C$. Проведем высоты $AD$ к стороне $BC$ и $CE$ к стороне $AB$. Пусть $O$ — точка их пересечения. При пересечении высот образуются два смежных угла, один из которых по условию равен $100^\circ$, а другой, соответственно, $180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $BEOD$. В нем углы $\angle BEO$ и $\angle BDO$ являются прямыми, так как $CE$ и $AD$ — высоты. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$, поэтому $\angle B + \angle EOD = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 180^\circ$. Угол $\angle EOD$ является одним из углов при пересечении высот. Это приводит к двум вариантам решения.

Вариант 1. Предположим, что $\angle EOD = 100^\circ$. Это соответствует случаю, когда треугольник $ABC$ остроугольный и высоты пересекаются внутри него. Из соотношения $\angle B + \angle EOD = 180^\circ$ находим угол при вершине:$\angle B = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны:$\angle A = \angle C = (180^\circ - 80^\circ) / 2 = 50^\circ$.Ответ: углы треугольника равны $50^\circ$, $50^\circ$ и $80^\circ$.

Вариант 2. Предположим, что $\angle EOD = 80^\circ$. Это соответствует случаю, когда треугольник $ABC$ тупоугольный (с тупым углом при вершине $B$), и высоты, проведенные из острых углов $A$ и $C$, пересекаются вне треугольника. Из соотношения $\angle B + \angle EOD = 180^\circ$ находим угол при вершине:$\angle B = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$. Углы при основании равны:$\angle A = \angle C = (180^\circ - 100^\circ) / 2 = 4