Номер 793, страница 195 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 793, страница 195.

793. Из вершины прямого угла треугольника опустили высоту на гипотенузу. Докажите, что два треугольника, образовавшиеся при этом, и данный треугольник имеют соответственно равные острые углы.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Его острые углы — $\angle A$ и $\angle B$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому сумма острых углов в прямоугольном треугольнике составляет $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, мы имеем соотношение: $\angle A + \angle B = 90^\circ$.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на гипотенузу $AB$. По определению высоты, $CH$ перпендикулярна $AB$, то есть $\angle CHA = \angle CHB = 90^\circ$. Эта высота делит исходный треугольник $ABC$ на два меньших прямоугольных треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle BCH$.

Рассмотрим первый образовавшийся треугольник — $\triangle ACH$. Он является прямоугольным, так как $\angle CHA = 90^\circ$. Его острые углы — это $\angle A$ (он общий с исходным треугольником) и $\angle ACH$. Сумма острых углов в этом треугольнике также равна $90^\circ$:

$\angle A + \angle ACH = 90^\circ$

Сравнивая это равенство с равенством для исходного треугольника ($\angle A + \angle B = 90^\circ$), мы можем заключить, что:

$\angle ACH = \angle B$

Таким образом, острые углы треугольника $\triangle ACH$ равны $\angle A$ и $\angle B$, то есть они равны острым углам исходного треугольника $\triangle ABC$.

Теперь рассмотрим второй образовавшийся треугольник — $\triangle BCH$. Он также является прямоугольным ($\angle CHB = 90^\circ$), и его острые углы — это $\angle B$ (общий с исходным треугольником) и $\angle BCH$.

Мы знаем, что угол $\angle C$ исходного треугольника равен $90^\circ$ и состоит из двух углов: $\angle ACH$ и $\angle BCH$.

$\angle ACB = \angle ACH + \angle BCH = 90^\circ$

Мы уже доказали, что $\angle ACH = \angle B$. Подставим это в предыдущее равенство:

$\angle B + \angle BCH = 90^\circ$

Сравнивая это с равенством $\angle A + \angle B = 90^\circ$, получаем:

$\angle BCH = \angle A$

Следовательно, острые углы треугольника $\triangle BCH$ равны $\angle B$ и $\angle A$, что также соответствует острым углам исходного треугольника $\triangle ABC$.

Мы доказали, что острые углы каждого из двух треугольников, образовавшихся после проведения высоты из прямого угла, равны острым углам данного треугольника.

Ответ: Утверждение доказано. Острые углы каждого из двух образовавшихся треугольников ($\triangle ACH$ и $\triangle BCH$) равны острым углам исходного треугольника $\triangle ABC$, то есть углам $\angle A$ и $\angle B$.