Номер 797, страница 195 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 797, страница 195.

797. В треугольнике $ABC$ угол $ACB$ прямой, отрезок $CH$ – высота данного треугольника, отрезок $CD$ – биссектриса треугольника $BCH$. Докажите, что $AC = AD$.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором по условию $\angle ACB = 90^\circ$. Обозначим $\angle CAB$ как $\alpha$. Тогда, так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, получаем, что $\angle CBA = 90^\circ - \alpha$.

$CH$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$, следовательно, $\triangle ACH$ и $\triangle BCH$ являются прямоугольными, так как $\angle CHA = \angle CHB = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $ACH$ известен угол $\angle CAH = \alpha$. Тогда другой острый угол $\angle ACH = 90^\circ - \angle CAH = 90^\circ - \alpha$.

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $BCH$ известен угол $\angle CBH = \angle CBA = 90^\circ - \alpha$. Тогда другой острый угол $\angle BCH = 90^\circ - \angle CBH = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$.

По условию, отрезок $CD$ является биссектрисой угла $BCH$. Это означает, что он делит этот угол на два равных угла:
$\angle BCD = \angle DCH = \frac{1}{2} \angle BCH = \frac{\alpha}{2}$.

Теперь найдем величину угла $ACD$. Этот угол состоит из суммы углов $ACH$ и $DCH$:
$\angle ACD = \angle ACH + \angle DCH = (90^\circ - \alpha) + \frac{\alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. Мы знаем два его угла: $\angle CAD = \alpha$ и $\angle ACD = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Найдем третий угол, $\angle ADC$, используя теорему о сумме углов треугольника:
$\angle ADC = 180^\circ - (\angle CAD + \angle ACD) = 180^\circ - \left(\alpha + 90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = 180^\circ - \left(90^\circ + \frac{\alpha}{2}\right) = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Таким образом, в треугольнике $ADC$ мы получили два равных угла: $\angle ACD = \angle ADC = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Треугольник, в котором два угла равны, является равнобедренным. В $\triangle ADC$ стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Сторона $AD$ лежит напротив угла $ACD$, а сторона $AC$ — напротив угла $ADC$. Следовательно, $AC = AD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AC = AD$ доказано.