Номер 803, страница 196 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 803, страница 196.

803. На одной стороне угла B отметили точки D и A, а на другой — точки E и C (рис. 391) так, что $AC \perp BC$, $DE \perp BC$, $CD \perp AB$. Найдите отрезок DE, если $\angle B = 30^\circ$, $AC = 12 \text{ см}$.

Рис. 391

Для нахождения длины отрезка DE последовательно рассмотрим три прямоугольных треугольника, которые определены в условии задачи.

Сначала рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (угол C — прямой, так как $AC \perp BC$). В этом треугольнике известен угол $ \angle B = 30^\circ $ и противолежащий ему катет $AC = 12$ см. Используя определение тангенса, найдем длину катета BC:

$ \tan(B) = \frac{AC}{BC} \implies BC = \frac{AC}{\tan(30^\circ)} = \frac{12}{1/\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} $ см.

Далее, рассмотрим прямоугольный треугольник BCD (угол D — прямой, так как $CD \perp AB$). В нем гипотенузой является сторона BC, $BC = 12\sqrt{3}$ см, а угол $ \angle B = 30^\circ $. Найдем длину катета BD, который прилежит к углу B, используя определение косинуса:

$ \cos(B) = \frac{BD}{BC} \implies BD = BC \cdot \cos(30^\circ) = 12\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{12 \cdot 3}{2} = 18 $ см.

Наконец, рассмотрим прямоугольный треугольник BDE (угол E — прямой, так как $DE \perp BC$). Его гипотенузой является сторона BD, $BD = 18$ см, а угол $ \angle B = 30^\circ $. Искомый отрезок DE является катетом, противолежащим углу B. Найдем его длину, используя определение синуса:

$ \sin(B) = \frac{DE}{BD} \implies DE = BD \cdot \sin(30^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9 $ см.

Ответ: 9 см.