Номер 798, страница 195 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 798, страница 195.

798. Угол между высотой и биссектрисой равнобедренного треугольника, проведёнными из одной вершины, равен $15^\circ$. Найдите углы данного треугольника. Сколько решений имеет задача?

В равнобедренном треугольнике есть два типа вершин: вершина, противолежащая основанию (вершина при так называемом "вершинном угле"), и две вершины при основании. Рассмотрим два возможных случая, в зависимости от того, из какой вершины проведены высота и биссектриса.

Случай 1: Высота и биссектриса проведены из вершины, противолежащей основанию.
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и биссектрисой угла при вершине. Это означает, что высота и биссектриса, проведённые из этой вершины, совпадают. Угол между ними равен $0^\circ$. Это противоречит условию задачи, в котором угол равен $15^\circ$. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: Высота и биссектриса проведены из вершины при основании.
Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = AC$, а $BC$ — основание. Тогда углы при основании равны: $\angle B = \angle C$. Обозначим эти углы как $\beta$. Вершинный угол $\angle A = 180^\circ - 2\beta$.

Проведём из вершины $C$ (угла при основании) высоту $CH$ к боковой стороне $AB$ и биссектрису $CL$ угла $\angle C$. По условию, угол между ними $\angle HCL = 15^\circ$.

Поскольку $CL$ — биссектриса угла $\angle C$, она делит его пополам: $\angle BCL = \frac{\angle C}{2} = \frac{\beta}{2}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BCH$ ($\angle CHB = 90^\circ$). Сумма его острых углов равна $90^\circ$, следовательно, $\angle BCH = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - \beta$.

Угол $\angle HCL$ является разностью или суммой углов $\angle BCL$ и $\angle BCH$. Поскольку высота $CH$ и биссектриса $CL$ проведены из одного угла $C$, а угол $\angle C = \beta$ является острым (так как это угол при основании), возможны два варианта их взаимного расположения. Это приводит к двум возможным решениям.

Первое решение

Предположим, что высота $CH$ лежит между стороной $BC$ и биссектрисой $CL$. Тогда $\angle BCL = \angle BCH + \angle HCL$.
Подставим известные величины:
$\frac{\beta}{2} = (90^\circ - \beta) + 15^\circ$
$\frac{\beta}{2} = 105^\circ - \beta$
$\frac{3\beta}{2} = 105^\circ$
$3\beta = 210^\circ$
$\beta = 70^\circ$

Находим углы треугольника:
Углы при основании: $\angle B = \angle C = 70^\circ$.
Вершинный угол: $\angle A = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.
Все углы острые, треугольник существует.
Ответ: Углы треугольника равны $70^\circ, 70^\circ, 40^\circ$.

Второе решение

Предположим, что биссектриса $CL$ лежит между стороной $BC$ и высотой $CH$. Тогда $\angle BCH = \angle BCL + \angle HCL$.
Подставим известные величины:
$90^\circ - \beta = \frac{\beta}{2} + 15^\circ$
$75^\circ = \beta + \frac{\beta}{2}$
$75^\circ = \frac{3\beta}{2}$
$150^\circ = 3\beta$
$\beta = 50^\circ$

Находим углы треугольника:
Углы при основании: $\angle B = \angle C = 50^\circ$.
Вершинный угол: $\angle A = 180^\circ - (50^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.
Все углы острые, треугольник существует.
Ответ: Углы треугольника равны $50^\circ, 50^\circ, 80^\circ$.

Таким образом, задача имеет два решения.