Номер 795, страница 195 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 795, страница 195.

795. Высоты $AM$ и $CK$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$, $OK = OM$, $\angle BAM = \angle ACK$. Докажите, что треугольник $ABC$ равносторонний.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AMB$ (поскольку $AM$ — высота, $\angle AMB = 90^\circ$) и $\triangle AKC$ (поскольку $CK$ — высота, $\angle AKC = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике $\triangle AMB$ сумма острых углов равна $90^\circ$, поэтому $\angle BAM + \angle B = 90^\circ$, откуда следует, что $\angle BAM = 90^\circ - \angle B$.Аналогично, в прямоугольном треугольнике $\triangle AKC$ сумма острых углов равна $90^\circ$, поэтому $\angle ACK + \angle A = 90^\circ$, откуда $\angle ACK = 90^\circ - \angle A$.

По условию задачи дано, что $\angle BAM = \angle ACK$. Приравнивая выражения для этих углов, получаем:$90^\circ - \angle B = 90^\circ - \angle A$Из этого равенства следует, что $\angle A = \angle B$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ углы при основании $AB$ равны, то этот треугольник является равнобедренным, а стороны, противолежащие равным углам, равны, то есть $AC = BC$.

Теперь сравним прямоугольные треугольники $\triangle CMA$ и $\triangle CKB$.У них равны гипотенузы $AC = BC$ (как мы доказали выше) и острые углы $\angle A = \angle B$.Следовательно, $\triangle CMA \cong \triangle CKB$ по гипотенузе и острому углу.Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих катетов, которыми являются высоты: $AM = CK$.

Высоты $AM$ и $CK$ пересекаются в точке $O$. Длины высот можно представить в виде сумм отрезков: $AM = AO + OM$ и $CK = CO + OK$.По условию задачи $OK = OM$. Так как мы также доказали, что $AM = CK$, то, вычитая из равенства высот равенство их отрезков, получаем:$AM - OM = CK - OK$$AO = CO$

Равенство сторон $AO$ и $CO$ означает, что треугольник $\triangle AOC$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle OAC = \angle OCA$.

Углы $\angle OAC$ и $\angle OCA$ являются частями углов $\angle A$ и $\angle C$ исходного треугольника $ABC$. В частности, $\angle OAC$ — это $\angle MAC$, а $\angle OCA$ — это $\angle ACK$.Таким образом, мы получили, что $\angle MAC = \angle ACK$.

Вспомним выражения для этих углов, которые мы выводили ранее:Из прямоугольного $\triangle AMC$: $\angle MAC = 90^\circ - \angle C$.Из прямоугольного $\triangle AKC$: $\angle ACK = 90^\circ - \angle A$.Приравнивая их, получаем:$90^\circ - \angle C = 90^\circ - \angle A$Отсюда следует, что $\angle A = \angle C$.

Итак, мы установили, что $\angle A = \angle B$ и $\angle A = \angle C$. Следовательно, все три угла треугольника $ABC$ равны: $\angle A = \angle B = \angle C$. Треугольник, у которого все углы равны, является равносторонним. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что треугольник ABC является равносторонним.