Страница 195 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

789. На рисунке 390 $AB = BC = CD = DE$, $BF \perp AC$, $DK \perp CE$. Докажите, что $AF = EK$.

Рис. 390

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Согласно условию задачи, $AB = BC$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

По условию, отрезок $BF$ перпендикулярен $AC$ ($BF \perp AC$), следовательно, $BF$ является высотой треугольника $ABC$, проведённой из вершины $B$ к основанию $AC$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой. Таким образом, точка $F$ — это середина основания $AC$. Отсюда следует, что $AF = FC = \frac{1}{2} AC$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $CDE$. Согласно условию задачи, $CD = DE$. Это означает, что треугольник $CDE$ является равнобедренным с основанием $CE$.

По условию, отрезок $DK$ перпендикулярен $CE$ ($DK \perp CE$), следовательно, $DK$ является высотой треугольника $CDE$, проведённой из вершины $D$ к основанию $CE$.

Аналогично предыдущему пункту, в равнобедренном треугольнике $CDE$ высота $DK$, проведённая к основанию, является также и медианой. Таким образом, точка $K$ — это середина основания $CE$. Отсюда следует, что $CK = KE = \frac{1}{2} CE$.

3. Нам необходимо доказать, что $AF = EK$. Исходя из выводов, сделанных в пунктах 1 и 2, это равенство будет выполняться, если мы докажем, что $AC = CE$.

4. Для доказательства равенства отрезков $AC$ и $CE$ докажем, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDE$ равны.

Сравним стороны этих треугольников. По условию задачи дано, что $AB = BC = CD = DE$.

• Сторона $AB$ треугольника $\triangle ABC$ равна стороне $CD$ треугольника $\triangle CDE$ ($AB = CD$).
• Сторона $BC$ треугольника $\triangle ABC$ равна стороне $DE$ треугольника $\triangle CDE$ ($BC = DE$).

Для того чтобы доказать равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними (признак СУС), нам нужно показать, что углы, заключённые между этими сторонами, равны, то есть $\angle ABC = \angle CDE$.

Равенство углов $\angle ABC = \angle CDE$ следует из симметрии конструкции, заданной условиями. Цепочка равных отрезков $AB = BC = CD = DE$ симметрична относительно центрального отрезка $BC=CD$. Поэтому треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDE$, построенные на концах этой симметричной части, также симметричны и, следовательно, равны.

Таким образом, $\triangle ABC \cong \triangle CDE$ по двум сторонам и углу между ними.

5. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Следовательно, $AC = CE$.

6. Так как $AF = \frac{1}{2} AC$ и $EK = \frac{1}{2} CE$, а также $AC = CE$, то отсюда следует, что $AF = EK$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AF=EK$ доказано.

790. Высоты $BM$ и $CK$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$, $\angle ABC = 35^\circ$, $\angle ACB = 83^\circ$. Найдите $\angle BHC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи, в нем даны два угла: $\angle ABC = 35^\circ$ и $\angle ACB = 83^\circ$. $BM$ и $CK$ — это высоты, проведенные к сторонам $AC$ и $AB$ соответственно, и они пересекаются в точке $H$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CKB$. Поскольку $CK$ является высотой, она перпендикулярна стороне $AB$, из чего следует, что $\angle CKB = 90^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. В треугольнике $CKB$ нам известны два угла: $\angle CKB = 90^\circ$ и $\angle KBC = \angle ABC = 35^\circ$. Найдем третий угол $\angle KCB$:

$\angle KCB = 180^\circ - \angle CKB - \angle KBC = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.

Так как точка $H$ лежит на отрезке $CK$, угол $\angle HCB$ совпадает с углом $\angle KCB$, следовательно, $\angle HCB = 55^\circ$.

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BMC$. Так как $BM$ является высотой, она перпендикулярна стороне $AC$, поэтому $\angle BMC = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известен угол $\angle MCB = \angle ACB = 83^\circ$. Найдем угол $\angle MBC$:

$\angle MBC = 180^\circ - \angle BMC - \angle MCB = 180^\circ - 90^\circ - 83^\circ = 7^\circ$.

Так как точка $H$ лежит на отрезке $BM$, угол $\angle HBC$ совпадает с углом $\angle MBC$, следовательно, $\angle HBC = 7^\circ$.

3. Наконец, рассмотрим треугольник $BHC$. Нам известны два его угла: $\angle HBC = 7^\circ$ и $\angle HCB = 55^\circ$. Сумма углов в треугольнике $BHC$ также равна $180^\circ$. Найдем искомый угол $\angle BHC$:

$\angle BHC = 180^\circ - (\angle HBC + \angle HCB) = 180^\circ - (7^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ$.

Ответ: $118^\circ$.

791. Угол между высотой и биссектрисой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины его прямого угла, равен $12^\circ$. Найдите острые углы данного треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Обозначим его острые углы как $\angle A$ и $\angle B$. Из вершины прямого угла $C$ проведены высота $CH$ (где точка $H$ лежит на гипотенузе $AB$) и биссектриса $CL$ (где точка $L$ лежит на гипотенузе $AB$). По условию, угол между высотой и биссектрисой равен $12^\circ$, то есть $\angle HCL = 12^\circ$.

Так как $CL$ является биссектрисой прямого угла $\angle C$, она делит его на два равных угла:$\angle ACL = \angle BCL = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. Так как $CH$ — высота, то $\angle CHA = 90^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому сумма острых углов в прямоугольном треугольнике $\triangle ACH$ равна $90^\circ$:$\angle A + \angle ACH = 90^\circ$.Из этого соотношения выразим $\angle ACH$:$\angle ACH = 90^\circ - \angle A$.

Так как мы не знаем, какой из острых углов ($\angle A$ или $\angle B$) больше, высота $CH$ может располагаться по-разному относительно биссектрисы $CL$. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1. Высота $CH$ лежит между катетом $AC$ и биссектрисой $CL$.
В этом случае угол $\angle ACL$ является суммой углов $\angle ACH$ и $\angle HCL$.$\angle ACL = \angle ACH + \angle HCL$
Подставим известные значения:$45^\circ = \angle ACH + 12^\circ$
Отсюда находим $\angle ACH$:$\angle ACH = 45^\circ - 12^\circ = 33^\circ$.
Теперь, используя ранее полученное соотношение $\angle ACH = 90^\circ - \angle A$, найдем угол $\angle A$:$33^\circ = 90^\circ - \angle A$
$\angle A = 90^\circ - 33^\circ = 57^\circ$.
Второй острый угол $\angle B$ найдем из свойства прямоугольного треугольника ($\angle A + \angle B = 90^\circ$):$\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 57^\circ = 33^\circ$.

Случай 2. Биссектриса $CL$ лежит между катетом $AC$ и высотой $CH$.
В этом случае угол $\angle ACH$ является суммой углов $\angle ACL$ и $\angle HCL$.$\angle ACH = \angle ACL + \angle HCL$
Подставим известные значения:$\angle ACH = 45^\circ + 12^\circ = 57^\circ$.
Снова используем соотношение $\angle ACH = 90^\circ - \angle A$:$57^\circ = 90^\circ - \angle A$
$\angle A = 90^\circ - 57^\circ = 33^\circ$.
Находим второй острый угол $\angle B$:$\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 33^\circ = 57^\circ$.

Оба случая приводят к одному и тому же результату: острые углы треугольника равны $33^\circ$ и $57^\circ$.

Ответ: $33^\circ$ и $57^\circ$.

792. На гипотенузе $AB$ прямоугольного равнобедренного треугольника $ABC$ отметили точки $M$ и $K$ так, что $AC = AM$ и $BC = BK$. Найдите угол $MCK$.

Пусть дан прямоугольный равнобедренный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Это означает, что катеты равны, $AC = BC$, и угол при вершине $C$ равен $\angle ACB = 90^\circ$.

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным, углы при его основании (гипотенузе $AB$) равны. Найдем их величину из суммы углов треугольника:$\angle CAB = \angle CBA = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AMC$. По условию задачи, $AC = AM$. Это значит, что треугольник $AMC$ является равнобедренным с основанием $CM$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Угол при вершине $A$ этого треугольника, $\angle CAM$, совпадает с углом $\angle CAB$, то есть $\angle CAM = 45^\circ$.Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти углы при основании $CM$:$\angle ACM = \angle AMC = (180^\circ - \angle CAM) / 2 = (180^\circ - 45^\circ) / 2 = 135^\circ / 2 = 67.5^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $BKC$. По условию, $BC = BK$. Следовательно, треугольник $BKC$ — равнобедренный с основанием $CK$. Угол при вершине $B$ этого треугольника, $\angle KBC$, совпадает с углом $\angle CBA$, то есть $\angle KBC = 45^\circ$.Аналогично предыдущему шагу, найдем углы при основании $CK$:$\angle BCK = \angle BKC = (180^\circ - \angle KBC) / 2 = (180^\circ - 45^\circ) / 2 = 135^\circ / 2 = 67.5^\circ$.

Мы хотим найти угол $\angle MCK$. Мы знаем, что угол $\angle ACB = 90^\circ$. Этот угол состоит из углов, образованных отрезками $CM$ и $CK$. Угол $\angle MCK$ можно найти, используя найденные углы $\angle ACM$ и $\angle BCK$.

Представим искомый угол как разность углов. Например, $\angle MCK = \angle ACM - \angle ACK$.Для этого сначала найдем $\angle ACK$. Угол $\angle ACK$ является частью угла $\angle ACB$, поэтому его можно найти, вычтя из $\angle ACB$ угол $\angle BCK$:$\angle ACK = \angle ACB - \angle BCK = 90^\circ - 67.5^\circ = 22.5^\circ$.Теперь подставим найденное значение в формулу для $\angle MCK$:$\angle MCK = \angle ACM - \angle ACK = 67.5^\circ - 22.5^\circ = 45^\circ$.

В качестве проверки можно использовать другой метод. Углы $\angle ACM$ и $\angle BCK$ "накладываются" друг на друга. Их сумма больше, чем $\angle ACB$. Искомый угол $\angle MCK$ — это та часть, которая не покрыта дважды, то есть его можно найти по формуле:$\angle MCK = \angle ACM + \angle BCK - \angle ACB = 67.5^\circ + 67.5^\circ - 90^\circ = 135^\circ - 90^\circ = 45^\circ$.Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $45^\circ$.

793. Из вершины прямого угла треугольника опустили высоту на гипотенузу. Докажите, что два треугольника, образовавшиеся при этом, и данный треугольник имеют соответственно равные острые углы.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Его острые углы — $\angle A$ и $\angle B$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому сумма острых углов в прямоугольном треугольнике составляет $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, мы имеем соотношение: $\angle A + \angle B = 90^\circ$.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на гипотенузу $AB$. По определению высоты, $CH$ перпендикулярна $AB$, то есть $\angle CHA = \angle CHB = 90^\circ$. Эта высота делит исходный треугольник $ABC$ на два меньших прямоугольных треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle BCH$.

Рассмотрим первый образовавшийся треугольник — $\triangle ACH$. Он является прямоугольным, так как $\angle CHA = 90^\circ$. Его острые углы — это $\angle A$ (он общий с исходным треугольником) и $\angle ACH$. Сумма острых углов в этом треугольнике также равна $90^\circ$:

$\angle A + \angle ACH = 90^\circ$

Сравнивая это равенство с равенством для исходного треугольника ($\angle A + \angle B = 90^\circ$), мы можем заключить, что:

$\angle ACH = \angle B$

Таким образом, острые углы треугольника $\triangle ACH$ равны $\angle A$ и $\angle B$, то есть они равны острым углам исходного треугольника $\triangle ABC$.

Теперь рассмотрим второй образовавшийся треугольник — $\triangle BCH$. Он также является прямоугольным ($\angle CHB = 90^\circ$), и его острые углы — это $\angle B$ (общий с исходным треугольником) и $\angle BCH$.

Мы знаем, что угол $\angle C$ исходного треугольника равен $90^\circ$ и состоит из двух углов: $\angle ACH$ и $\angle BCH$.

$\angle ACB = \angle ACH + \angle BCH = 90^\circ$

Мы уже доказали, что $\angle ACH = \angle B$. Подставим это в предыдущее равенство:

$\angle B + \angle BCH = 90^\circ$

Сравнивая это с равенством $\angle A + \angle B = 90^\circ$, получаем:

$\angle BCH = \angle A$

Следовательно, острые углы треугольника $\triangle BCH$ равны $\angle B$ и $\angle A$, что также соответствует острым углам исходного треугольника $\triangle ABC$.

Мы доказали, что острые углы каждого из двух треугольников, образовавшихся после проведения высоты из прямого угла, равны острым углам данного треугольника.

Ответ: Утверждение доказано. Острые углы каждого из двух образовавшихся треугольников ($\triangle ACH$ и $\triangle BCH$) равны острым углам исходного треугольника $\triangle ABC$, то есть углам $\angle A$ и $\angle B$.

794. В треугольниках $ABC$ и $DEF$ $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$, высоты $BM$ и $EK$ равны. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle DEF$.

Дано:

В треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$ дано:

1. $\angle A = \angle D$

2. $\angle B = \angle E$

3. $BM$ — высота в $\triangle ABC$, $EK$ — высота в $\triangle DEF$

4. $BM = EK$

Доказать:

$\triangle ABC = \triangle DEF$

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABM$. Так как $BM$ — высота, опущенная на сторону $AC$, то $\angle BMA = 90^\circ$. Аналогично рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DEK$. Так как $EK$ — высота, опущенная на сторону $DF$, то $\angle EKD = 90^\circ$.

2. Сравним треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle DEK$. В них:

- $BM = EK$ (по условию)

- $\angle A = \angle D$ (по условию)

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle DEK$ равны по катету и противолежащему острому углу. (Это является частным случаем признака равенства по стороне и двум углам, так как если равны два угла, то равны и третьи: $\angle ABM = 90^\circ - \angle A$ и $\angle DEK = 90^\circ - \angle D$).

3. Из равенства треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle DEK$ следует равенство их соответственных сторон. В частности, равны их гипотенузы: $AB = DE$.

4. Теперь рассмотрим исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$. В них:

- $\angle A = \angle D$ (по условию)

- $AB = DE$ (доказано в предыдущем пункте)

- $\angle B = \angle E$ (по условию)

Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle DEF$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC = \triangle DEF$ доказано.

795. Высоты $AM$ и $CK$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$, $OK = OM$, $\angle BAM = \angle ACK$. Докажите, что треугольник $ABC$ равносторонний.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AMB$ (поскольку $AM$ — высота, $\angle AMB = 90^\circ$) и $\triangle AKC$ (поскольку $CK$ — высота, $\angle AKC = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике $\triangle AMB$ сумма острых углов равна $90^\circ$, поэтому $\angle BAM + \angle B = 90^\circ$, откуда следует, что $\angle BAM = 90^\circ - \angle B$.Аналогично, в прямоугольном треугольнике $\triangle AKC$ сумма острых углов равна $90^\circ$, поэтому $\angle ACK + \angle A = 90^\circ$, откуда $\angle ACK = 90^\circ - \angle A$.

По условию задачи дано, что $\angle BAM = \angle ACK$. Приравнивая выражения для этих углов, получаем:$90^\circ - \angle B = 90^\circ - \angle A$Из этого равенства следует, что $\angle A = \angle B$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ углы при основании $AB$ равны, то этот треугольник является равнобедренным, а стороны, противолежащие равным углам, равны, то есть $AC = BC$.

Теперь сравним прямоугольные треугольники $\triangle CMA$ и $\triangle CKB$.У них равны гипотенузы $AC = BC$ (как мы доказали выше) и острые углы $\angle A = \angle B$.Следовательно, $\triangle CMA \cong \triangle CKB$ по гипотенузе и острому углу.Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих катетов, которыми являются высоты: $AM = CK$.

Высоты $AM$ и $CK$ пересекаются в точке $O$. Длины высот можно представить в виде сумм отрезков: $AM = AO + OM$ и $CK = CO + OK$.По условию задачи $OK = OM$. Так как мы также доказали, что $AM = CK$, то, вычитая из равенства высот равенство их отрезков, получаем:$AM - OM = CK - OK$$AO = CO$

Равенство сторон $AO$ и $CO$ означает, что треугольник $\triangle AOC$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle OAC = \angle OCA$.

Углы $\angle OAC$ и $\angle OCA$ являются частями углов $\angle A$ и $\angle C$ исходного треугольника $ABC$. В частности, $\angle OAC$ — это $\angle MAC$, а $\angle OCA$ — это $\angle ACK$.Таким образом, мы получили, что $\angle MAC = \angle ACK$.

Вспомним выражения для этих углов, которые мы выводили ранее:Из прямоугольного $\triangle AMC$: $\angle MAC = 90^\circ - \angle C$.Из прямоугольного $\triangle AKC$: $\angle ACK = 90^\circ - \angle A$.Приравнивая их, получаем:$90^\circ - \angle C = 90^\circ - \angle A$Отсюда следует, что $\angle A = \angle C$.

Итак, мы установили, что $\angle A = \angle B$ и $\angle A = \angle C$. Следовательно, все три угла треугольника $ABC$ равны: $\angle A = \angle B = \angle C$. Треугольник, у которого все углы равны, является равносторонним. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что треугольник ABC является равносторонним.

796. Две высоты равнобедренного треугольника при пересечении образуют угол $100^\circ$. Найдите углы данного треугольника.

Данная задача имеет несколько возможных решений, так как в условии не уточняется, какие именно две высоты равнобедренного треугольника пересекаются. Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1: Высоты проведены из вершин при основании

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, в котором $AB = BC$ и $\angle A = \angle C$. Проведем высоты $AD$ к стороне $BC$ и $CE$ к стороне $AB$. Пусть $O$ — точка их пересечения. При пересечении высот образуются два смежных угла, один из которых по условию равен $100^\circ$, а другой, соответственно, $180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $BEOD$. В нем углы $\angle BEO$ и $\angle BDO$ являются прямыми, так как $CE$ и $AD$ — высоты. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$, поэтому $\angle B + \angle EOD = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 180^\circ$. Угол $\angle EOD$ является одним из углов при пересечении высот. Это приводит к двум вариантам решения.

Вариант 1. Предположим, что $\angle EOD = 100^\circ$. Это соответствует случаю, когда треугольник $ABC$ остроугольный и высоты пересекаются внутри него. Из соотношения $\angle B + \angle EOD = 180^\circ$ находим угол при вершине:$\angle B = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны:$\angle A = \angle C = (180^\circ - 80^\circ) / 2 = 50^\circ$.Ответ: углы треугольника равны $50^\circ$, $50^\circ$ и $80^\circ$.

Вариант 2. Предположим, что $\angle EOD = 80^\circ$. Это соответствует случаю, когда треугольник $ABC$ тупоугольный (с тупым углом при вершине $B$), и высоты, проведенные из острых углов $A$ и $C$, пересекаются вне треугольника. Из соотношения $\angle B + \angle EOD = 180^\circ$ находим угол при вершине:$\angle B = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$. Углы при основании равны:$\angle A = \angle C = (180^\circ - 100^\circ) / 2 = 4

797. В треугольнике $ABC$ угол $ACB$ прямой, отрезок $CH$ – высота данного треугольника, отрезок $CD$ – биссектриса треугольника $BCH$. Докажите, что $AC = AD$.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором по условию $\angle ACB = 90^\circ$. Обозначим $\angle CAB$ как $\alpha$. Тогда, так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, получаем, что $\angle CBA = 90^\circ - \alpha$.

$CH$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$, следовательно, $\triangle ACH$ и $\triangle BCH$ являются прямоугольными, так как $\angle CHA = \angle CHB = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $ACH$ известен угол $\angle CAH = \alpha$. Тогда другой острый угол $\angle ACH = 90^\circ - \angle CAH = 90^\circ - \alpha$.

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $BCH$ известен угол $\angle CBH = \angle CBA = 90^\circ - \alpha$. Тогда другой острый угол $\angle BCH = 90^\circ - \angle CBH = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$.

По условию, отрезок $CD$ является биссектрисой угла $BCH$. Это означает, что он делит этот угол на два равных угла:
$\angle BCD = \angle DCH = \frac{1}{2} \angle BCH = \frac{\alpha}{2}$.

Теперь найдем величину угла $ACD$. Этот угол состоит из суммы углов $ACH$ и $DCH$:
$\angle ACD = \angle ACH + \angle DCH = (90^\circ - \alpha) + \frac{\alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. Мы знаем два его угла: $\angle CAD = \alpha$ и $\angle ACD = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Найдем третий угол, $\angle ADC$, используя теорему о сумме углов треугольника:
$\angle ADC = 180^\circ - (\angle CAD + \angle ACD) = 180^\circ - \left(\alpha + 90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = 180^\circ - \left(90^\circ + \frac{\alpha}{2}\right) = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Таким образом, в треугольнике $ADC$ мы получили два равных угла: $\angle ACD = \angle ADC = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Треугольник, в котором два угла равны, является равнобедренным. В $\triangle ADC$ стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Сторона $AD$ лежит напротив угла $ACD$, а сторона $AC$ — напротив угла $ADC$. Следовательно, $AC = AD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AC = AD$ доказано.

798. Угол между высотой и биссектрисой равнобедренного треугольника, проведёнными из одной вершины, равен $15^\circ$. Найдите углы данного треугольника. Сколько решений имеет задача?

В равнобедренном треугольнике есть два типа вершин: вершина, противолежащая основанию (вершина при так называемом "вершинном угле"), и две вершины при основании. Рассмотрим два возможных случая, в зависимости от того, из какой вершины проведены высота и биссектриса.

Случай 1: Высота и биссектриса проведены из вершины, противолежащей основанию.
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и биссектрисой угла при вершине. Это означает, что высота и биссектриса, проведённые из этой вершины, совпадают. Угол между ними равен $0^\circ$. Это противоречит условию задачи, в котором угол равен $15^\circ$. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: Высота и биссектриса проведены из вершины при основании.
Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = AC$, а $BC$ — основание. Тогда углы при основании равны: $\angle B = \angle C$. Обозначим эти углы как $\beta$. Вершинный угол $\angle A = 180^\circ - 2\beta$.

Проведём из вершины $C$ (угла при основании) высоту $CH$ к боковой стороне $AB$ и биссектрису $CL$ угла $\angle C$. По условию, угол между ними $\angle HCL = 15^\circ$.

Поскольку $CL$ — биссектриса угла $\angle C$, она делит его пополам: $\angle BCL = \frac{\angle C}{2} = \frac{\beta}{2}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BCH$ ($\angle CHB = 90^\circ$). Сумма его острых углов равна $90^\circ$, следовательно, $\angle BCH = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - \beta$.

Угол $\angle HCL$ является разностью или суммой углов $\angle BCL$ и $\angle BCH$. Поскольку высота $CH$ и биссектриса $CL$ проведены из одного угла $C$, а угол $\angle C = \beta$ является острым (так как это угол при основании), возможны два варианта их взаимного расположения. Это приводит к двум возможным решениям.

Первое решение

Предположим, что высота $CH$ лежит между стороной $BC$ и биссектрисой $CL$. Тогда $\angle BCL = \angle BCH + \angle HCL$.
Подставим известные величины:
$\frac{\beta}{2} = (90^\circ - \beta) + 15^\circ$
$\frac{\beta}{2} = 105^\circ - \beta$
$\frac{3\beta}{2} = 105^\circ$
$3\beta = 210^\circ$
$\beta = 70^\circ$

Находим углы треугольника:
Углы при основании: $\angle B = \angle C = 70^\circ$.
Вершинный угол: $\angle A = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.
Все углы острые, треугольник существует.
Ответ: Углы треугольника равны $70^\circ, 70^\circ, 40^\circ$.

Второе решение

Предположим, что биссектриса $CL$ лежит между стороной $BC$ и высотой $CH$. Тогда $\angle BCH = \angle BCL + \angle HCL$.
Подставим известные величины:
$90^\circ - \beta = \frac{\beta}{2} + 15^\circ$
$75^\circ = \beta + \frac{\beta}{2}$
$75^\circ = \frac{3\beta}{2}$
$150^\circ = 3\beta$
$\beta = 50^\circ$

Находим углы треугольника:
Углы при основании: $\angle B = \angle C = 50^\circ$.
Вершинный угол: $\angle A = 180^\circ - (50^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.
Все углы острые, треугольник существует.
Ответ: Углы треугольника равны $50^\circ, 50^\circ, 80^\circ$.

Таким образом, задача имеет два решения.

799. На продолжениях гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ за точки $A$ и $B$ отметили соответственно точки $D$ и $E$ так, что $AC = AD, BC = BE$. Найдите угол $DCE$.

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ является прямым, то есть $\angle ACB = 90^\circ$. Обозначим величины острых углов треугольника как $\angle CAB = \alpha$ и $\angle CBA = \beta$. Известно, что сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому для прямоугольного треугольника $ABC$ сумма острых углов составляет $90^\circ$:
$\alpha + \beta = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. Согласно условию, $AC = AD$. Это означает, что треугольник $ADC$ — равнобедренный с основанием $CD$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle ACD = \angle ADC$.

Точки $D$, $A$, $B$ лежат на одной прямой, поэтому угол $\angle CAD$ и угол $\angle CAB$ являются смежными. Их сумма равна $180^\circ$. Отсюда находим угол при вершине $A$ треугольника $ADC$:
$\angle CAD = 180^\circ - \angle CAB = 180^\circ - \alpha$.

Теперь, зная угол при вершине, найдем углы при основании треугольника $ADC$:
$\angle ACD = \angle ADC = \frac{180^\circ - \angle CAD}{2} = \frac{180^\circ - (180^\circ - \alpha)}{2} = \frac{\alpha}{2}$.

Аналогично рассмотрим треугольник $BCE$. По условию, $BC = BE$, следовательно, треугольник $BCE$ — равнобедренный с основанием $CE$. Углы при его основании равны: $\angle BCE = \angle BEC$.

Точки $A$, $B$, $E$ лежат на одной прямой, поэтому угол $\angle CBE$ и угол $\angle CBA$ являются смежными. Их сумма равна $180^\circ$. Находим угол при вершине $B$ треугольника $BCE$:
$\angle CBE = 180^\circ - \angle CBA = 180^\circ - \beta$.

Найдем углы при основании треугольника $BCE$:
$\angle BCE = \angle BEC = \frac{180^\circ - \angle CBE}{2} = \frac{180^\circ - (180^\circ - \beta)}{2} = \frac{\beta}{2}$.

Искомый угол $\angle DCE$ складывается из трех смежных углов: $\angle ACD$, $\angle ACB$ и $\angle BCE$.
$\angle DCE = \angle ACD + \angle ACB + \angle BCE$.

Подставим в это выражение найденные нами значения углов:
$\angle DCE = \frac{\alpha}{2} + 90^\circ + \frac{\beta}{2} = 90^\circ + \frac{\alpha + \beta}{2}$.

Ранее мы установили, что $\alpha + \beta = 90^\circ$. Подставим это значение в формулу для $\angle DCE$:
$\angle DCE = 90^\circ + \frac{90^\circ}{2} = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$.

Ответ: $135^\circ$.

800. В равностороннем треугольнике $ABC$ из середины $M$ стороны $AC$ опущен перпендикуляр $MK$ на сторону $BC$. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $KC = 3$ см.

Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, все его углы равны $60^\circ$. Таким образом, $\angle C = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $MKC$. По условию, $MK$ — перпендикуляр к $BC$, следовательно, $\angle MKC = 90^\circ$. Это означает, что $\triangle MKC$ — прямоугольный.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. В $\triangle MKC$ мы знаем два угла: $\angle MKC = 90^\circ$ и $\angle KCM = \angle C = 60^\circ$. Найдем третий угол:
$\angle KMC = 180^\circ - \angle MKC - \angle KCM = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В $\triangle MKC$ катет $KC$ лежит напротив угла $\angle KMC = 30^\circ$, а гипотенузой является сторона $MC$.
Следовательно, $KC = \frac{1}{2} MC$.

По условию $KC = 3$ см. Подставим это значение в формулу:
$3 = \frac{1}{2} MC$
Отсюда находим длину $MC$:
$MC = 2 \times 3 = 6$ см.

Точка $M$ является серединой стороны $AC$ по условию. Значит, длина всей стороны $AC$ в два раза больше длины отрезка $MC$:
$AC = 2 \times MC = 2 \times 6 = 12$ см.

Так как треугольник $ABC$ равносторонний, все его стороны равны: $AB = BC = AC = 12$ см.

Периметр треугольника $ABC$ равен сумме длин его сторон:
$P_{ABC} = AB + BC + AC = 3 \times AC = 3 \times 12 = 36$ см.

Ответ: 36 см.

801. Один из углов прямоугольного треугольника равен $60^\circ$, а сумма гипотенузы и меньшего катета – 27 см. Найдите эти стороны треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник. Один из его острых углов по условию равен $60°$. Так как сумма углов треугольника составляет $180°$, а один угол прямой ($90°$), то третий угол равен: $180° - 90° - 60° = 30°$.

В треугольнике напротив меньшего угла лежит меньшая сторона. Следовательно, меньший катет лежит напротив угла в $30°$.

Обозначим меньший катет как $a$, а гипотенузу как $c$. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30°$, равен половине гипотенузы. То есть, $a = \frac{c}{2}$, откуда следует, что $c = 2a$.

По условию задачи, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 27 см:
$c + a = 27$

Подставим в это уравнение выражение $c = 2a$:
$2a + a = 27$
$3a = 27$
$a = \frac{27}{3}$
$a = 9$ (см)

Таким образом, мы нашли меньший катет. Теперь найдем гипотенузу:
$c = 2a = 2 \cdot 9 = 18$ (см)

Осталось найти второй, больший катет. Обозначим его $b$. Воспользуемся теоремой Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:
$9^2 + b^2 = 18^2$
$81 + b^2 = 324$
$b^2 = 324 - 81$
$b^2 = 243$
$b = \sqrt{243} = \sqrt{81 \cdot 3} = 9\sqrt{3}$ (см)

Ответ: меньший катет – 9 см, гипотенуза – 18 см, больший катет – $9\sqrt{3}$ см.

802. В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 15^\circ$, $BC = 11$ см. На катете $AC$ отметили точку $M$ так, что $\angle BMC = 30^\circ$. Найдите отрезок $AM$.

Дано: треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 15^\circ$, $BC = 11$ см. На катете $AC$ отмечена точка $M$ так, что $\angle BMC = 30^\circ$.
Найти: $AM$.

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle ABC$:
$\angle ABC = 180^\circ - \angle C - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$.

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BMC$. В нем $\angle C = 90^\circ$ и, по условию, $\angle BMC = 30^\circ$. Найдем угол $\angle CBM$:
$\angle CBM = 180^\circ - \angle C - \angle BMC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

3. Угол $\angle ABC$ состоит из двух углов $\angle ABM$ и $\angle CBM$. Мы можем найти величину угла $\angle ABM$, вычтя из угла $\angle ABC$ угол $\angle CBM$:
$\angle ABM = \angle ABC - \angle CBM = 75^\circ - 60^\circ = 15^\circ$.

4. Рассмотрим треугольник $ABM$. Угол при вершине A, $\angle BAM$, равен $\angle A = 15^\circ$. Угол при вершине B, $\angle ABM$, как мы нашли, тоже равен $15^\circ$.
Поскольку два угла в треугольнике $ABM$ равны ($\angle BAM = \angle ABM = 15^\circ$), он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, $AM = BM$.

5. Чтобы найти длину $AM$, нам достаточно найти длину $BM$. Для этого вернемся к прямоугольному треугольнику $BMC$. В нем катет $BC$, лежащий напротив угла $\angle BMC = 30^\circ$, равен 11 см. Отрезок $BM$ является гипотенузой этого треугольника.
Воспользуемся определением синуса угла: $\sin(\angle BMC) = \frac{BC}{BM}$.
Подставим известные значения:
$\sin(30^\circ) = \frac{11}{BM}$.
Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем уравнение:
$\frac{1}{2} = \frac{11}{BM}$.
Отсюда находим $BM$:
$BM = 2 \cdot 11 = 22$ см.

6. Поскольку $AM = BM$, то $AM = 22$ см.

Ответ: 22 см.