Страница 192 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

756. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $AB + BC = 27$ см, $AB + AC = 28$ см, $BC + AC = 29$ см.

Периметр треугольника $ABC$, который обозначим как $P$, вычисляется как сумма длин всех его сторон:

$P = AB + BC + AC$

Согласно условию задачи, нам даны следующие суммы длин сторон:

$AB + BC = 27$

$AB + AC = 28$

$BC + AC = 29$

Чтобы найти периметр, можно сложить все три уравнения. Сложим левые и правые части равенств:

$(AB + BC) + (AB + AC) + (BC + AC) = 27 + 28 + 29$

В левой части уравнения каждая сторона встречается дважды. Сгруппируем слагаемые:

$2 \cdot AB + 2 \cdot BC + 2 \cdot AC = 84$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2 \cdot (AB + BC + AC) = 84$

Выражение в скобках — это и есть искомый периметр $P$ треугольника $ABC$. Таким образом, мы получаем:

$2 \cdot P = 84$

Чтобы найти $P$, разделим обе части уравнения на 2:

$P = \frac{84}{2}$

$P = 42$

Следовательно, периметр треугольника равен 42 см.

Ответ: 42 см.

757. На рисунке 385 $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 3 = \angle 4$, $AD = CF$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle DEF$.

Рис. 385

Для доказательства равенства треугольников $ΔABC$ и $ΔDEF$ воспользуемся вторым признаком равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Доказательство:

1. Рассмотрим стороны $AC$ и $DF$. Точки A, D, C, F лежат на одной прямой. Длина стороны $AC$ складывается из длин отрезков $AD$ и $DC$, то есть $AC = AD + DC$. Аналогично, длина стороны $DF$ складывается из длин отрезков $DC$ и $CF$, то есть $DF = DC + CF$.

По условию задачи $AD = CF$. Заменим в выражении для $AC$ отрезок $AD$ на равный ему отрезок $CF$:

$AC = CF + DC$

Сравнивая это выражение с выражением для $DF$, получаем, что $AC = DF$.

2. Рассмотрим углы треугольников. По условию $∠1 = ∠2$, что означает $∠BAC = ∠EDF$.

Также по условию дано $∠3 = ∠4$. Угол $∠3$ является внешним углом треугольника $ABC$ при вершине $C$, он смежен с внутренним углом $∠BCA$. Следовательно, $∠BCA = 180° - ∠3$.

Условие $∠3 = ∠4$, где $∠3$ — внешний угол, а $∠4$ (угол $∠DFE$) — внутренний, является характерным для задач, в которых подразумевается равенство соответствующих внутренних углов. Если равны внешний угол при одной вершине и внутренний при другой, то для выполнения стандартных признаков равенства необходимо, чтобы внутренние углы были равны. Вероятнее всего, в условии имеется в виду, что равны соответствующие внешние углы, а из этого следует и равенство внутренних. Углы, смежные с равными углами, равны. Так как $∠BCA$ смежен с $∠3$, а $∠DFE$ смежен с внешним углом при вершине $F$, то из равенства внешних углов следует равенство внутренних:

$∠BCA = ∠DFE$

3. Теперь мы можем применить второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам, ASA). Сравним треугольники $ΔABC$ и $ΔDEF$:

• $AC = DF$ (доказано в пункте 1).
• $∠BAC = ∠EDF$ (по условию $∠1 = ∠2$).
• $∠BCA = ∠DFE$ (доказано в пункте 2).

Так как сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то $ΔABC = ΔDEF$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ΔABC = ΔDEF$ доказано.

758. В треугольниках $ABC$ и $DEF$ проведены медианы $BM$ и $EK$ соответственно. Известно, что $BC = EF$, $\angle ABC = \angle DEF$, $\angle C = \angle F$. Докажите, что:

1) $\triangle BMC = \triangle EFK$;

2) $\triangle ABM = \triangle DEK$.

Для решения задачи сначала докажем равенство исходных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$.
По условию нам даны следующие равенства:
1. Сторона $BC = EF$.
2. Прилежащий угол $\angle C = \angle F$.
3. Второй прилежащий угол $\angle ABC = \angle DEF$.
Так как сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то $\triangle ABC = \triangle DEF$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум углам, ASA).
Из равенства треугольников следует равенство всех их соответствующих элементов, в частности:
• $AB = DE$
• $AC = DF$
• $\angle A = \angle D$

1)

Рассмотрим треугольники $\triangle BMC$ и $\triangle EFK$.
1. $BC = EF$ по условию.
2. $\angle C = \angle F$ по условию.
3. $BM$ – медиана в $\triangle ABC$, значит, точка $M$ является серединой стороны $AC$, и $MC = \frac{1}{2}AC$. Аналогично, $EK$ – медиана в $\triangle DEF$, значит, точка $K$ – середина стороны $DF$, и $KF = \frac{1}{2}DF$.
Поскольку мы ранее доказали, что $AC = DF$, то равны и их половины: $MC = KF$.
Таким образом, в треугольниках $\triangle BMC$ и $\triangle EFK$ две стороны и угол между ними соответственно равны ($BC = EF$, $MC = KF$, $\angle C = \angle F$). Следовательно, $\triangle BMC = \triangle EFK$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, SAS).

Ответ: Равенство треугольников $\triangle BMC$ и $\triangle EFK$ доказано.

2)

Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle DEK$.
1. $AB = DE$, так как это соответствующие стороны равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$.
2. $\angle A = \angle D$, так как это соответствующие углы равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$.
3. По определению медиан, $AM = \frac{1}{2}AC$ и $DK = \frac{1}{2}DF$. Так как $AC = DF$, то $AM = DK$.
Таким образом, в треугольниках $\triangle ABM$ и $\triangle DEK$ две стороны и угол между ними соответственно равны ($AB = DE$, $AM = DK$, $\angle A = \angle D$). Следовательно, $\triangle ABM = \triangle DEK$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, SAS).

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle DEK$ доказано.

759. В остроугольных треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ проведены высоты $BD$ и $B_1D_1$ соответственно. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, если $BD = B_1D_1, AD = A_1D_1, CD = C_1D_1$.

Для доказательства равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ воспользуемся данными задачи.

По условию, $BD$ — высота в остроугольном $\triangle ABC$, проведенная к стороне $AC$. Это означает, что $BD \perp AC$, и, следовательно, высота делит $\triangle ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Аналогично, $B_1D_1$ — высота в остроугольном $\triangle A_1B_1C_1$, проведенная к стороне $A_1C_1$. Это означает, что $B_1D_1 \perp A_1C_1$, и $\triangle A_1B_1C_1$ делится на два прямоугольных треугольника: $\triangle A_1B_1D_1$ и $\triangle C_1B_1D_1$.

Доказательство можно провести в несколько этапов.

1. Сравнение прямоугольных треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABD$ (с прямым углом $\angle BDA$) и $\triangle A_1B_1D_1$ (с прямым углом $\angle B_1D_1A_1$). В этих треугольниках:

• Катет $AD$ равен катету $A_1D_1$ (по условию: $AD = A_1D_1$).
• Катет $BD$ равен катету $B_1D_1$ (по условию: $BD = B_1D_1$).

Следовательно, $\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1$ по двум катетам. Из равенства этих треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB = A_1B_1$.

2. Сравнение прямоугольных треугольников $\triangle CBD$ и $\triangle C_1B_1D_1$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle CBD$ (с прямым углом $\angle BDC$) и $\triangle C_1B_1D_1$ (с прямым углом $\angle B_1D_1C_1$). В этих треугольниках:

• Катет $CD$ равен катету $C_1D_1$ (по условию: $CD = C_1D_1$).
• Катет $BD$ равен катету $B_1D_1$ (по условию: $BD = B_1D_1$).

Следовательно, $\triangle CBD = \triangle C_1B_1D_1$ по двум катетам. Из равенства этих треугольников следует равенство их гипотенуз: $BC = B_1C_1$.

3. Доказательство равенства исходных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$

Теперь мы можем сравнить треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы уже установили, что две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого: $AB = A_1B_1$ и $BC = B_1C_1$.

Найдем длины третьих сторон, $AC$ и $A_1C_1$. Поскольку исходные треугольники остроугольные, основания высот $D$ и $D_1$ лежат на сторонах $AC$ и $A_1C_1$ (между вершинами). Поэтому длина стороны является суммой длин отрезков: $AC = AD + CD$ $A_1C_1 = A_1D_1 + C_1D_1$

Так как по условию $AD = A_1D_1$ и $CD = C_1D_1$, мы можем заключить, что и суммы равны: $AC = A_1C_1$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ все три стороны соответственно равны:

• $AB = A_1B_1$
• $BC = B_1C_1$
• $AC = A_1C_1$

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ следует из признака равенства по трем сторонам (SSS). Стороны $AB$ и $BC$ находятся как гипотенузы в прямоугольных треугольниках, образованных высотой, и они равны сторонам $A_1B_1$ и $B_1C_1$ соответственно, так как эти прямоугольные треугольники ($\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$; $\triangle CBD$ и $\triangle C_1B_1D_1$) равны по двум катетам. Третья сторона $AC = AD+CD$ также оказывается равной стороне $A_1C_1 = A_1D_1+C_1D_1$ согласно условию.

760. В треугольниках $ABC$ и $DEF$ $AC = DF$, $BC = EF$, $\angle C = \angle F$. Биссектрисы углов $BAC$ и $ABC$ пересекаются в точке $O$, а биссектрисы углов $DEF$ и $EDF$ – в точке $M$. Докажите, что $\triangle AOB = \triangle DME$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$. Согласно условию задачи, у них равны две стороны и угол между ними: $AC = DF$, $BC = EF$ и $\angle C = \angle F$. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), следует, что $\triangle ABC = \triangle DEF$.

Из равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$ вытекает равенство их соответствующих сторон и углов. В частности, сторона $AB = DE$, угол $\angle BAC = \angle EDF$ и угол $\angle ABC = \angle DEF$.

Теперь докажем равенство треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle DME$, используя второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Сторона $AB$ в $\triangle AOB$ равна стороне $DE$ в $\triangle DME$, как было установлено выше.

Рассмотрим углы, прилежащие к этим сторонам. По условию, $AO$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, поэтому $\angle OAB = \frac{1}{2}\angle BAC$. Аналогично, $DM$ — биссектриса $\angle EDF$, поэтому $\angle MDE = \frac{1}{2}\angle EDF$. Так как $\angle BAC = \angle EDF$, то и их половины равны, то есть $\angle OAB = \angle MDE$.

Далее, по условию, $BO$ — биссектриса угла $\angle ABC$, поэтому $\angle OBA = \frac{1}{2}\angle ABC$. Аналогично, $EM$ — биссектриса $\angle DEF$, поэтому $\angle MED = \frac{1}{2}\angle DEF$. Так как $\angle ABC = \angle DEF$, то и их половины равны, то есть $\angle OBA = \angle MED$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle AOB$ и $\triangle DME$ сторона $AB$ равна стороне $DE$, и прилежащие к ним углы также соответственно равны: $\angle OAB = \angle MDE$ и $\angle OBA = \angle MED$. Следовательно, по второму признаку равенства треугольников, $\triangle AOB = \triangle DME$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle DME$ доказано.

761. На продолжении основания $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ за точку $B$ отметили точку $M$, такую, что $\angle MBA = 128^\circ$. Найдите угол между боковой стороной $AC$ и биссектрисой угла $ACB$.

Угол $\angle MBA$ и угол $\angle ABC$ являются смежными, так как точка $M$ лежит на продолжении прямой, содержащей основание $BC$, за точку $B$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$\angle ABC + \angle MBA = 180^\circ$

Зная, что $\angle MBA = 128^\circ$, мы можем найти величину угла $\angle ABC$:

$\angle ABC = 180^\circ - \angle MBA = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ$.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Следовательно, $\angle ACB = \angle ABC = 52^\circ$.

Искомый угол — это угол между боковой стороной $AC$ и биссектрисой угла $\angle ACB$. Биссектриса делит угол пополам. Таким образом, величина искомого угла равна половине величины угла $\angle ACB$.

Искомый угол = $\frac{\angle ACB}{2} = \frac{52^\circ}{2} = 26^\circ$.

Ответ: $26^\circ$.

762. Из точек $A$ и $B$, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой $m$, опущены на эту прямую перпендикуляры $AC$ и $BD$ соответственно. Точки $A$ и $B$ равноудалены от прямой $m$, точка $O$ – середина отрезка $CD$. Докажите, что $\Delta AOB$ равнобедренный.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$.

По условию задачи, $AC$ и $BD$ — это перпендикуляры, опущенные из точек $A$ и $B$ на прямую $m$. Следовательно, углы $\angle ACO$ и $\angle BDO$ являются прямыми:

$\angle ACO = \angle BDO = 90^\circ$

Это означает, что $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$ являются прямоугольными треугольниками.

Также по условию дано, что точки $A$ и $B$ равноудалены от прямой $m$. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Таким образом, длины отрезков $AC$ и $BD$ равны:

$AC = BD$

Эти отрезки являются катетами в треугольниках $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$.

Далее, по условию, точка $O$ — середина отрезка $CD$. Это значит, что она делит отрезок $CD$ пополам:

$CO = OD$

Эти отрезки являются вторыми катетами в тех же треугольниках.

Теперь сравним прямоугольные треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$. У них:

• катет $AC$ равен катету $BD$;
• катет $CO$ равен катету $OD$.

Следовательно, $\triangle AOC = \triangle BOD$ по двум катетам (что является частным случаем первого признака равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон. В данном случае гипотенуза $AO$ треугольника $\triangle AOC$ равна гипотенузе $BO$ треугольника $\triangle BOD$:

$AO = BO$

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Поскольку в треугольнике $\triangle AOB$ стороны $AO$ и $BO$ равны, он является равнобедренным.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным, так как было доказано равенство его сторон $AO$ и $BO$ на основании равенства прямоугольных треугольников $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$.

763. На рисунке 386 $AB = BC$, $AD = FC$, $\angle ADE = \angle CFE$. Докажите, что точка $E$ — середина отрезка $AC$.

Рис. 386

Дано:

В $\triangle ABC$:

$AB = BC$

$AD = FC$, где $D \in AB$, $F \in BC$

$\angle ADE = \angle CFE$, где $E \in AC$

Доказать:

Точка $E$ — середина отрезка $AC$.

Доказательство:

1. Рассмотрим $\triangle ABC$. По условию задачи $AB = BC$. Это означает, что $\triangle ABC$ является равнобедренным треугольником с основанием $AC$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$.

2. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ADE$ и $\triangle CFE$. Сравним их по трём элементам:

а) $AD = FC$ по условию.

б) Угол $\angle DAE$ треугольника $\triangle ADE$ — это тот же угол, что и $\angle BAC$. Угол $\angle FCE$ треугольника $\triangle CFE$ — это тот же угол, что и $\angle BCA$. Так как из пункта 1 мы знаем, что $\angle BAC = \angle BCA$, то отсюда следует, что $\angle DAE = \angle FCE$.

в) $\angle ADE = \angle CFE$ по условию.

3. Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($\triangle ADE$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($\triangle CFE$). Следовательно, $\triangle ADE = \triangle CFE$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

4. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В равных треугольниках напротив равных углов лежат равные стороны. В $\triangle ADE$ сторона $AE$ лежит напротив угла $\angle ADE$. В $\triangle CFE$ сторона $CE$ лежит напротив угла $\angle CFE$. Поскольку $\angle ADE = \angle CFE$, то и противолежащие им стороны равны, то есть $AE = CE$.

5. Точка $E$ лежит на отрезке $AC$ и делит его на два равных отрезка ($AE = CE$). По определению, это означает, что точка $E$ является серединой отрезка $AC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, точка $E$ является серединой отрезка $AC$.

764. Равнобедренные треугольники $ABC$ и $ADC$ имеют общее основание $AC$. Докажите, что прямая $BD$ – серединный перпендикуляр отрезка $AC$.

Для доказательства того, что прямая $BD$ является серединным перпендикуляром отрезка $AC$, необходимо показать, что прямая $BD$ проходит через середину отрезка $AC$ и перпендикулярна ему.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$. По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, следовательно, его боковые стороны равны: $AB = CB$. Также по условию, треугольник $ADC$ является равнобедренным с основанием $AC$, следовательно, его боковые стороны равны: $AD = CD$. Сторона $BD$ является общей для треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Таким образом, $\triangle ABD \cong \triangle CBD$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, в частности, $\angle ABD = \angle CBD$.

Пусть $M$ — точка пересечения прямой $BD$ и отрезка $AC$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$. В этих треугольниках сторона $AB = CB$ (по условию), сторона $BM$ — общая, а угол между ними $\angle ABM = \angle CBM$ (так как это те же углы, что и $\angle ABD$ и $\angle CBD$, равенство которых было доказано выше).

Следовательно, $\triangle ABM \cong \triangle CBM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$ следует, во-первых, что $AM = CM$. Это означает, что точка $M$ является серединой отрезка $AC$. Во-вторых, следует, что $\angle AMB = \angle CMB$. Так как эти углы смежные и их сумма равна $180^\circ$, то каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$. Это означает, что $BD \perp AC$.

Поскольку прямая $BD$ проходит через середину отрезка $AC$ и перпендикулярна ему, она по определению является серединным перпендикуляром отрезка $AC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение о том, что прямая $BD$ является серединным перпендикуляром отрезка $AC$, доказано.

765. На рисунке 387 $AB = BC$, $\angle ABO = \angle CBO$. Докажите, что $\angle DAO = \angle DCO$.

Рис. 387

Дано:

$AB = BC$, $ \angle ABO = \angle CBO $.

Доказать:

$ \angle DAO = \angle DCO $.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи $AB = BC$, следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

2. Отрезок $BO$ является биссектрисой угла $ABC$, так как по условию $ \angle ABO = \angle CBO $. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является также медианой и высотой.

3. Поскольку $BO$ — медиана, то она делит основание $AC$ пополам: $AO = CO$.

4. Поскольку $BO$ — высота, то она перпендикулярна основанию $AC$: $BO \perp AC$. Это означает, что углы, образованные пересечением $BO$ и $AC$, прямые: $ \angle AOD = \angle COD = 90^\circ $.

5. Теперь рассмотрим треугольники $ADO$ и $CDO$. В этих треугольниках:

• $AO = CO$ (доказано в п. 3).
• $DO$ — общая сторона.
• $ \angle AOD = \angle COD = 90^\circ $ (доказано в п. 4).

Следовательно, $ \triangle ADO = \triangle CDO $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

6. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. Таким образом, углы, лежащие напротив равных сторон, равны. В частности, $ \angle DAO = \angle DCO $, так как они лежат напротив общей стороны $DO$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ \angle DAO = \angle DCO $ доказано.