Номер 763, страница 192 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Треугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 763, страница 192.

763. На рисунке 386 $AB = BC$, $AD = FC$, $\angle ADE = \angle CFE$. Докажите, что точка $E$ — середина отрезка $AC$.

Рис. 386

Дано:

В $\triangle ABC$:

$AB = BC$

$AD = FC$, где $D \in AB$, $F \in BC$

$\angle ADE = \angle CFE$, где $E \in AC$

Доказать:

Точка $E$ — середина отрезка $AC$.

Доказательство:

1. Рассмотрим $\triangle ABC$. По условию задачи $AB = BC$. Это означает, что $\triangle ABC$ является равнобедренным треугольником с основанием $AC$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$.

2. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ADE$ и $\triangle CFE$. Сравним их по трём элементам:

а) $AD = FC$ по условию.

б) Угол $\angle DAE$ треугольника $\triangle ADE$ — это тот же угол, что и $\angle BAC$. Угол $\angle FCE$ треугольника $\triangle CFE$ — это тот же угол, что и $\angle BCA$. Так как из пункта 1 мы знаем, что $\angle BAC = \angle BCA$, то отсюда следует, что $\angle DAE = \angle FCE$.

в) $\angle ADE = \angle CFE$ по условию.

3. Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($\triangle ADE$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($\triangle CFE$). Следовательно, $\triangle ADE = \triangle CFE$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

4. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В равных треугольниках напротив равных углов лежат равные стороны. В $\triangle ADE$ сторона $AE$ лежит напротив угла $\angle ADE$. В $\triangle CFE$ сторона $CE$ лежит напротив угла $\angle CFE$. Поскольку $\angle ADE = \angle CFE$, то и противолежащие им стороны равны, то есть $AE = CE$.

5. Точка $E$ лежит на отрезке $AC$ и делит его на два равных отрезка ($AE = CE$). По определению, это означает, что точка $E$ является серединой отрезка $AC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, точка $E$ является серединой отрезка $AC$.