Номер 759, страница 192 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Треугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 759, страница 192.

759. В остроугольных треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ проведены высоты $BD$ и $B_1D_1$ соответственно. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, если $BD = B_1D_1, AD = A_1D_1, CD = C_1D_1$.

Для доказательства равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ воспользуемся данными задачи.

По условию, $BD$ — высота в остроугольном $\triangle ABC$, проведенная к стороне $AC$. Это означает, что $BD \perp AC$, и, следовательно, высота делит $\triangle ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Аналогично, $B_1D_1$ — высота в остроугольном $\triangle A_1B_1C_1$, проведенная к стороне $A_1C_1$. Это означает, что $B_1D_1 \perp A_1C_1$, и $\triangle A_1B_1C_1$ делится на два прямоугольных треугольника: $\triangle A_1B_1D_1$ и $\triangle C_1B_1D_1$.

Доказательство можно провести в несколько этапов.

1. Сравнение прямоугольных треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABD$ (с прямым углом $\angle BDA$) и $\triangle A_1B_1D_1$ (с прямым углом $\angle B_1D_1A_1$). В этих треугольниках:

• Катет $AD$ равен катету $A_1D_1$ (по условию: $AD = A_1D_1$).
• Катет $BD$ равен катету $B_1D_1$ (по условию: $BD = B_1D_1$).

Следовательно, $\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1$ по двум катетам. Из равенства этих треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB = A_1B_1$.

2. Сравнение прямоугольных треугольников $\triangle CBD$ и $\triangle C_1B_1D_1$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle CBD$ (с прямым углом $\angle BDC$) и $\triangle C_1B_1D_1$ (с прямым углом $\angle B_1D_1C_1$). В этих треугольниках:

• Катет $CD$ равен катету $C_1D_1$ (по условию: $CD = C_1D_1$).
• Катет $BD$ равен катету $B_1D_1$ (по условию: $BD = B_1D_1$).

Следовательно, $\triangle CBD = \triangle C_1B_1D_1$ по двум катетам. Из равенства этих треугольников следует равенство их гипотенуз: $BC = B_1C_1$.

3. Доказательство равенства исходных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$

Теперь мы можем сравнить треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы уже установили, что две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого: $AB = A_1B_1$ и $BC = B_1C_1$.

Найдем длины третьих сторон, $AC$ и $A_1C_1$. Поскольку исходные треугольники остроугольные, основания высот $D$ и $D_1$ лежат на сторонах $AC$ и $A_1C_1$ (между вершинами). Поэтому длина стороны является суммой длин отрезков: $AC = AD + CD$ $A_1C_1 = A_1D_1 + C_1D_1$

Так как по условию $AD = A_1D_1$ и $CD = C_1D_1$, мы можем заключить, что и суммы равны: $AC = A_1C_1$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ все три стороны соответственно равны:

• $AB = A_1B_1$
• $BC = B_1C_1$
• $AC = A_1C_1$

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ следует из признака равенства по трем сторонам (SSS). Стороны $AB$ и $BC$ находятся как гипотенузы в прямоугольных треугольниках, образованных высотой, и они равны сторонам $A_1B_1$ и $B_1C_1$ соответственно, так как эти прямоугольные треугольники ($\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$; $\triangle CBD$ и $\triangle C_1B_1D_1$) равны по двум катетам. Третья сторона $AC = AD+CD$ также оказывается равной стороне $A_1C_1 = A_1D_1+C_1D_1$ согласно условию.