Номер 758, страница 192 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Треугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 758, страница 192.

758. В треугольниках $ABC$ и $DEF$ проведены медианы $BM$ и $EK$ соответственно. Известно, что $BC = EF$, $\angle ABC = \angle DEF$, $\angle C = \angle F$. Докажите, что:

1) $\triangle BMC = \triangle EFK$;

2) $\triangle ABM = \triangle DEK$.

Для решения задачи сначала докажем равенство исходных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$.
По условию нам даны следующие равенства:
1. Сторона $BC = EF$.
2. Прилежащий угол $\angle C = \angle F$.
3. Второй прилежащий угол $\angle ABC = \angle DEF$.
Так как сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то $\triangle ABC = \triangle DEF$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум углам, ASA).
Из равенства треугольников следует равенство всех их соответствующих элементов, в частности:
• $AB = DE$
• $AC = DF$
• $\angle A = \angle D$

1)

Рассмотрим треугольники $\triangle BMC$ и $\triangle EFK$.
1. $BC = EF$ по условию.
2. $\angle C = \angle F$ по условию.
3. $BM$ – медиана в $\triangle ABC$, значит, точка $M$ является серединой стороны $AC$, и $MC = \frac{1}{2}AC$. Аналогично, $EK$ – медиана в $\triangle DEF$, значит, точка $K$ – середина стороны $DF$, и $KF = \frac{1}{2}DF$.
Поскольку мы ранее доказали, что $AC = DF$, то равны и их половины: $MC = KF$.
Таким образом, в треугольниках $\triangle BMC$ и $\triangle EFK$ две стороны и угол между ними соответственно равны ($BC = EF$, $MC = KF$, $\angle C = \angle F$). Следовательно, $\triangle BMC = \triangle EFK$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, SAS).

Ответ: Равенство треугольников $\triangle BMC$ и $\triangle EFK$ доказано.

2)

Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle DEK$.
1. $AB = DE$, так как это соответствующие стороны равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$.
2. $\angle A = \angle D$, так как это соответствующие углы равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$.
3. По определению медиан, $AM = \frac{1}{2}AC$ и $DK = \frac{1}{2}DF$. Так как $AC = DF$, то $AM = DK$.
Таким образом, в треугольниках $\triangle ABM$ и $\triangle DEK$ две стороны и угол между ними соответственно равны ($AB = DE$, $AM = DK$, $\angle A = \angle D$). Следовательно, $\triangle ABM = \triangle DEK$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, SAS).

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle DEK$ доказано.