Номер 751, страница 191 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Простейшие геометрические фигуры и их свойства. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 751, страница 191.

751. На рисунке 383 $AN = 24$ см, $AB = BC$, $CD = DE$, $EF = FK$, $KM = MN$, $DF = 6$ см. Найдите длину отрезка $BM$.

Рис. 383

A B C D E F K M N

Согласно условию задачи, на прямой расположены точки A, B, C, D, E, F, K, M, N. Для решения введем следующие обозначения для длин равных отрезков:
Пусть длина отрезков $AB$ и $BC$ равна $x$, то есть $AB = BC = x$.
Пусть длина отрезков $CD$ и $DE$ равна $y$, то есть $CD = DE = y$.
Пусть длина отрезков $EF$ и $FK$ равна $z$, то есть $EF = FK = z$.
Пусть длина отрезков $KM$ и $MN$ равна $w$, то есть $KM = MN = w$.

Длина всего отрезка $AN$ является суммой длин составляющих его отрезков:
$AN = AB + BC + CD + DE + EF + FK + KM + MN$
Подставим наши обозначения:
$AN = x + x + y + y + z + z + w + w = 2x + 2y + 2z + 2w = 2(x+y+z+w)$.
Из условия известно, что $AN = 24$ см. Составим уравнение:
$2(x+y+z+w) = 24$
$x+y+z+w = 12$.

Также по условию известна длина отрезка $DF$. Отрезок $DF$ состоит из отрезков $DE$ и $EF$:
$DF = DE + EF$.
Подставим наши обозначения:
$DF = y + z$.
Из условия известно, что $DF = 6$ см, значит:
$y+z = 6$.

Теперь выразим длину искомого отрезка $BM$ через введенные переменные. Отрезок $BM$ состоит из отрезков $BC, CD, DE, EF, FK, KM$:
$BM = BC + CD + DE + EF + FK + KM$.
Подставим наши обозначения:
$BM = x + y + y + z + z + w = x + 2y + 2z + w$.
Сгруппируем слагаемые для удобства:
$BM = (x+w) + 2(y+z)$.

У нас есть система из двух уравнений:
1) $x+y+z+w = 12$
2) $y+z = 6$
Подставим значение $(y+z)$ из второго уравнения в первое:
$x + 6 + w = 12$
Отсюда найдем сумму $(x+w)$:
$x+w = 12 - 6 = 6$.

Теперь мы можем вычислить длину отрезка $BM$, подставив найденные значения сумм $(x+w)$ и $(y+z)$ в ранее полученное выражение:
$BM = (x+w) + 2(y+z) = 6 + 2 \cdot 6 = 6 + 12 = 18$ см.

Ответ: 18 см.