Номер 750, страница 191 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Простейшие геометрические фигуры и их свойства. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 750, страница 191.

750. На прямой отметили 10 точек: A, B, C, D, E, F, M, N, K, P. Сколько при этом образовалось отрезков, одним из концов которых является точка A? Сколько всего образовалось отрезков с концами в отмеченных точках? Зависит ли общее количество отрезков от того, лежат ли отмеченные точки на одной прямой?

Сколько при этом образовалось отрезков, одним из концов которых является точка А?
Отрезок определяется двумя точками, которые являются его концами. Если один конец отрезка зафиксирован в точке А, то второй конец может находиться в любой из 9 оставшихся точек (B, C, D, E, F, M, N, K, P).
Таким образом, можно образовать 9 отрезков: AB, AC, AD, AE, AF, AM, AN, AK, AP.
Количество таких отрезков равно количеству точек, не совпадающих с А, то есть $10 - 1 = 9$.
Ответ: 9 отрезков.

Сколько всего образовалось отрезков с концами в отмеченных точках?
Для образования одного отрезка нужно выбрать две точки из десяти. Порядок выбора точек не имеет значения (отрезок AB — это тот же отрезок, что и BA). Это задача на нахождение числа сочетаний из $n$ элементов по $k$, где $n=10$ (всего точек), а $k=2$ (точек в отрезке).
Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Подставим наши значения:
$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = \frac{90}{2} = 45$.
Можно рассуждать иначе: первую точку для отрезка можно выбрать 10 способами, вторую — 9 оставшимися способами. Всего получается $10 \times 9 = 90$ пар. Так как каждая пара (например, A и B) посчитана дважды (как AB и как BA), результат нужно разделить на 2: $\frac{90}{2} = 45$.
Ответ: 45 отрезков.

Зависит ли общее количество отрезков от того, лежат ли отмеченные точки на одной прямой?
Нет, не зависит. Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Для определения отрезка необходимо и достаточно иметь две различные точки. Их взаимное расположение в пространстве или на плоскости (лежат ли они на одной прямой с другими точками, на окружности или произвольно) не влияет на количество отрезков, которое можно провести между всеми парами точек. Количество отрезков зависит только от общего количества точек.
Ответ: Нет, не зависит.