Номер 748, страница 191 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Простейшие геометрические фигуры и их свойства. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 748, страница 191.

ков. Найдите расстояние между серединами крайних отрезков.

748. Точка C – середина отрезка AB, $AB = 10$ см. На прямой AB найдите все точки X, такие, что $AX + BX + CX = 12$ см.

Для решения задачи введем координатную прямую. Пусть точка $C$, как середина отрезка $AB$, будет началом координат, то есть ее координата равна 0. Длина отрезка $AB$ равна 10 см, значит $AC = CB = 10 / 2 = 5$ см. Тогда точка $A$ будет иметь координату $-5$, а точка $B$ — координату $5$.

Пусть искомая точка $X$ имеет координату $x$. Тогда расстояния от точки $X$ до точек $A$, $B$ и $C$ можно выразить через модули разностей их координат:

• $AX = |x - (-5)| = |x + 5|$
• $BX = |x - 5|$
• $CX = |x - 0| = |x|$

Согласно условию задачи, сумма этих расстояний равна 12 см. Составим уравнение:

$|x + 5| + |x - 5| + |x| = 12$

Для решения этого уравнения с модулями необходимо рассмотреть четыре случая, в зависимости от того, на каком промежутке находится $x$. Границы промежутков — это точки, в которых выражения под модулями обращаются в ноль: $-5$, $0$ и $5$.

1. Пусть $x < -5$. В этом случае все выражения под модулями отрицательны, поэтому при раскрытии модулей знак меняется на противоположный:

$-(x + 5) - (x - 5) - x = 12$

$-x - 5 - x + 5 - x = 12$

$-3x = 12$

$x = -4$

Это значение не удовлетворяет условию $x < -5$, следовательно, в данном промежутке решений нет.

2. Пусть $-5 \leq x < 0$. В этом случае $|x + 5| = x + 5$, а $|x - 5| = -(x - 5)$ и $|x| = -x$:

$(x + 5) - (x - 5) - x = 12$

$x + 5 - x + 5 - x = 12$

$10 - x = 12$

$x = -2$

Это значение удовлетворяет условию $-5 \leq x < 0$, значит, $x = -2$ является решением. Эта точка расположена на отрезке $AC$ на расстоянии 2 см от точки $C$.

3. Пусть $0 \leq x < 5$. В этом случае $|x + 5| = x + 5$, $|x - 5| = -(x - 5)$ и $|x| = x$:

$(x + 5) - (x - 5) + x = 12$

$x + 5 - x + 5 + x = 12$

$10 + x = 12$

$x = 2$

Это значение удовлетворяет условию $0 \leq x < 5$, значит, $x = 2$ также является решением. Эта точка расположена на отрезке $CB$ на расстоянии 2 см от точки $C$.

4. Пусть $x \geq 5$. В этом случае все выражения под модулями неотрицательны:

$(x + 5) + (x - 5) + x = 12$

$3x = 12$

$x = 4$

Это значение не удовлетворяет условию $x \geq 5$, следовательно, в данном промежутке решений нет.

Таким образом, мы нашли две точки, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: Существуют две такие точки. Они расположены на отрезке $AB$ на расстоянии 2 см от его середины $C$.