Номер 762, страница 192 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Треугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 762, страница 192.

762. Из точек $A$ и $B$, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой $m$, опущены на эту прямую перпендикуляры $AC$ и $BD$ соответственно. Точки $A$ и $B$ равноудалены от прямой $m$, точка $O$ – середина отрезка $CD$. Докажите, что $\Delta AOB$ равнобедренный.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$.

По условию задачи, $AC$ и $BD$ — это перпендикуляры, опущенные из точек $A$ и $B$ на прямую $m$. Следовательно, углы $\angle ACO$ и $\angle BDO$ являются прямыми:

$\angle ACO = \angle BDO = 90^\circ$

Это означает, что $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$ являются прямоугольными треугольниками.

Также по условию дано, что точки $A$ и $B$ равноудалены от прямой $m$. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Таким образом, длины отрезков $AC$ и $BD$ равны:

$AC = BD$

Эти отрезки являются катетами в треугольниках $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$.

Далее, по условию, точка $O$ — середина отрезка $CD$. Это значит, что она делит отрезок $CD$ пополам:

$CO = OD$

Эти отрезки являются вторыми катетами в тех же треугольниках.

Теперь сравним прямоугольные треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$. У них:

• катет $AC$ равен катету $BD$;
• катет $CO$ равен катету $OD$.

Следовательно, $\triangle AOC = \triangle BOD$ по двум катетам (что является частным случаем первого признака равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон. В данном случае гипотенуза $AO$ треугольника $\triangle AOC$ равна гипотенузе $BO$ треугольника $\triangle BOD$:

$AO = BO$

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Поскольку в треугольнике $\triangle AOB$ стороны $AO$ и $BO$ равны, он является равнобедренным.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным, так как было доказано равенство его сторон $AO$ и $BO$ на основании равенства прямоугольных треугольников $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$.