Номер 766, страница 193 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Треугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 766, страница 193.

766. На рисунке 388 $OA = OC, OD = OB$. Докажите, что $\angle DAC = \angle BCA$.

Рис. 388

Рассмотрим треугольники $ \triangle AOD $ и $ \triangle COB $.

По условию задачи нам дано, что $ OA = OC $ и $ OD = OB $. Углы $ \angle AOD $ и $ \angle COB $ равны, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении отрезков $ AC $ и $ DB $.

Таким образом, в треугольниках $ \triangle AOD $ и $ \triangle COB $ есть две соответственно равные стороны ($ OA = OC $, $ OD = OB $) и равный угол между ними ($ \angle AOD = \angle COB $). Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольник $ \triangle AOD $ равен треугольнику $ \triangle COB $.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $ \angle OAD $ в треугольнике $ \triangle AOD $ лежит напротив стороны $ OD $. Угол $ \angle OCB $ в треугольнике $ \triangle COB $ лежит напротив стороны $ OB $. Поскольку стороны $ OD $ и $ OB $ равны, то и противолежащие им углы равны: $ \angle OAD = \angle OCB $.

Так как точки $ A, O, C $ лежат на одной прямой, то угол $ \angle OAD $ — это тот же угол, что и $ \angle DAC $. Аналогично, угол $ \angle OCB $ — это тот же угол, что и $ \angle BCA $.

Отсюда следует, что $ \angle DAC = \angle BCA $, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.