Номер 770, страница 193 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Треугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 770, страница 193.

770. На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ отметили точки $F$ и $K$ соответственно. Докажите, что если треугольники $AFB$ и $AKB$ равны и стороны $AK$ и $BF$ соответственные, то треугольник $ABC$ равнобедренный.

Рассмотрим условие равенства треугольников $AFB$ и $AKB$. Указание, что стороны $AK$ и $BF$ являются соответственными, определяет точное соответствие между вершинами этих треугольников при их равенстве.

В равных треугольниках соответственные стороны соединяют соответственные вершины. Сторона $BF$ в треугольнике $AFB$ соединяет вершины $B$ и $F$. Сторона $AK$ в треугольнике $AKB$ соединяет вершины $A$ и $K$. Следовательно, пара вершин $\{B, F\}$ первого треугольника должна соответствовать паре вершин $\{A, K\}$ второго.

Оставшаяся вершина треугольника $AFB$ — это $A$. Оставшаяся вершина треугольника $AKB$ — это $B$. Отсюда следует, что вершина $A$ первого треугольника должна соответствовать вершине $B$ второго ($A \leftrightarrow B$).

Теперь установим полное соответствие вершин. Зная, что $A \leftrightarrow B$, и что пара $\{B, F\}$ соответствует паре $\{A, K\}$, мы можем однозначно определить оставшиеся соответствия. Вершина $B$ из первого треугольника должна соответствовать одной из вершин $A$ или $K$. Так как вершине $B$ (из второго треугольника) уже соответствует вершина $A$ (из первого), то по правилам соответствия вершин в равных фигурах, вершина $B$ (из первого) должна соответствовать вершине $A$ (из второго). Тогда для вершины $F$ остается только соответствие с вершиной $K$.

Таким образом, мы получаем следующее соответствие вершин: $A \leftrightarrow B$, $F \leftrightarrow K$, $B \leftrightarrow A$. Это означает, что равенство треугольников следует записать как $\triangle AFB \cong \triangle BKA$.

Из равенства треугольников $\triangle AFB \cong \triangle BKA$ следует равенство их соответственных углов. В частности, угол при вершине $A$ в первом треугольнике равен углу при соответственной вершине $B$ во втором треугольнике: $\angle FAB = \angle KBA$.

Рассмотрим эти углы в контексте исходного треугольника $ABC$. Угол $\angle FAB$ является углом $\angle CAB$ треугольника $ABC$, поскольку точка $F$ лежит на стороне $AC$. Аналогично, угол $\angle KBA$ является углом $\angle CBA$ треугольника $ABC$, поскольку точка $K$ лежит на стороне $BC$.

Следовательно, мы получаем, что в треугольнике $ABC$ углы при основании $AB$ равны: $\angle CAB = \angle CBA$.

Согласно признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике два угла равны, то стороны, противолежащие этим углам, также равны. В нашем случае это стороны $AC$ и $BC$. Значит, $AC = BC$.

Поскольку у треугольника $ABC$ две стороны равны, он является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.