Номер 773, страница 193 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 773, страница 193.

773. Через точку, не принадлежащую прямой $a$, провели три прямые. Докажите, что по крайней мере две из этих прямых пересекают прямую $a$.

Доказательство проведем методом от противного. Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, не принадлежащая этой прямой ($M \notin a$). Через точку $M$ проведены три различные прямые.

Допустим, что утверждение неверно. Это означает, что прямую $a$ пересекает менее двух прямых, то есть одна прямая или ни одной.

Рассмотрим эти два случая:

1. Ни одна из трех прямых не пересекает прямую $a$.
Если прямая не пересекает другую прямую, лежащую с ней в одной плоскости, то она ей параллельна. Следовательно, все три прямые, проходящие через точку $M$, параллельны прямой $a$. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых (аксиоме Евклида), согласно которой через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Значит, этот случай невозможен.

2. Только одна из трех прямых пересекает прямую $a$.
Это означает, что две другие прямые не пересекают прямую $a$, а значит, они ей параллельны. Таким образом, через точку $M$ проходят две различные прямые, параллельные прямой $a$. Это также противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, и этот случай невозможен.

Так как оба предположения (что ни одна или только одна прямая пересекает прямую $a$) приводят к противоречию, наше исходное допущение неверно. Следовательно, верно обратное утверждение: по крайней мере две из трех прямых, проведенных через точку $M$, пересекают прямую $a$.

Ответ: Что и требовалось доказать.