Номер 777, страница 194 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 777, страница 194.

777. Прямая, проведённая через вершину треугольника параллельно его противолежащей стороне, образует с двумя другими сторонами равные углы. Докажите, что данный треугольник равнобедренный.

Дано:

Треугольник $ABC$.
Через вершину $B$ проведена прямая $l$, на которой лежат точки $D$ и $E$ так, что $D-B-E$.
Прямая $l$ параллельна стороне $AC$ ($DE \parallel AC$).
Прямая $l$ образует со сторонами $AB$ и $BC$ равные углы: $\angle DBA = \angle EBC$.

Доказать:

Треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Доказательство:

1. Рассмотрим параллельные прямые $DE$ и $AC$ и секущую $AB$. Углы $\angle DBA$ и $\angle BAC$ являются внутренними накрест лежащими. По свойству параллельных прямых, такие углы равны:
$\angle DBA = \angle BAC$.

2. Теперь рассмотрим те же параллельные прямые $DE$ и $AC$, но с секущей $BC$. Углы $\angle EBC$ и $\angle BCA$ также являются внутренними накрест лежащими. Следовательно, они равны:
$\angle EBC = \angle BCA$.

3. По условию задачи нам дано, что $\angle DBA = \angle EBC$.

4. Сопоставим полученные равенства:

• $\angle BAC = \angle DBA$ (из пункта 1)
• $\angle DBA = \angle EBC$ (из условия)
• $\angle EBC = \angle BCA$ (из пункта 2)

Из этого следует, что $\angle BAC = \angle BCA$.

5. Мы получили, что в треугольнике $ABC$ два угла равны. Это углы при основании $AC$. По признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, также равны, то есть $AB = BC$.

Таким образом, треугольник $ABC$ — равнобедренный, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано. Треугольник является равнобедренным, так как из условия задачи и свойств параллельных прямых следует, что углы при его основании равны ($\angle BAC = \angle BCA$).