Номер 760, страница 192 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Треугольники. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 760, страница 192.

760. В треугольниках $ABC$ и $DEF$ $AC = DF$, $BC = EF$, $\angle C = \angle F$. Биссектрисы углов $BAC$ и $ABC$ пересекаются в точке $O$, а биссектрисы углов $DEF$ и $EDF$ – в точке $M$. Докажите, что $\triangle AOB = \triangle DME$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$. Согласно условию задачи, у них равны две стороны и угол между ними: $AC = DF$, $BC = EF$ и $\angle C = \angle F$. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), следует, что $\triangle ABC = \triangle DEF$.

Из равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$ вытекает равенство их соответствующих сторон и углов. В частности, сторона $AB = DE$, угол $\angle BAC = \angle EDF$ и угол $\angle ABC = \angle DEF$.

Теперь докажем равенство треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle DME$, используя второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Сторона $AB$ в $\triangle AOB$ равна стороне $DE$ в $\triangle DME$, как было установлено выше.

Рассмотрим углы, прилежащие к этим сторонам. По условию, $AO$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, поэтому $\angle OAB = \frac{1}{2}\angle BAC$. Аналогично, $DM$ — биссектриса $\angle EDF$, поэтому $\angle MDE = \frac{1}{2}\angle EDF$. Так как $\angle BAC = \angle EDF$, то и их половины равны, то есть $\angle OAB = \angle MDE$.

Далее, по условию, $BO$ — биссектриса угла $\angle ABC$, поэтому $\angle OBA = \frac{1}{2}\angle ABC$. Аналогично, $EM$ — биссектриса $\angle DEF$, поэтому $\angle MED = \frac{1}{2}\angle DEF$. Так как $\angle ABC = \angle DEF$, то и их половины равны, то есть $\angle OBA = \angle MED$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle AOB$ и $\triangle DME$ сторона $AB$ равна стороне $DE$, и прилежащие к ним углы также соответственно равны: $\angle OAB = \angle MDE$ и $\angle OBA = \angle MED$. Следовательно, по второму признаку равенства треугольников, $\triangle AOB = \triangle DME$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle DME$ доказано.