Номер 806, страница 196 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Окружность и круг. Геометрические построения. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 806, страница 196.

806. Диаметры $AB$ и $CD$ окружности с центром $O$ перпендикулярны. На диаметре $AB$ по разные стороны от центра $O$ отметили точки $E$ и $F$ так, что $CE = DF$. Докажите, что $OE = OF$.

Рассмотрим треугольники $\triangle COE$ и $\triangle DOF$. По условию задачи диаметры $AB$ и $CD$ перпендикулярны, следовательно, $AB \perp CD$. Так как точки $E$ и $F$ лежат на диаметре $AB$, а $O$ — центр окружности, то $\angle COE = 90^\circ$ и $\angle DOF = 90^\circ$. Таким образом, треугольники $\triangle COE$ и $\triangle DOF$ являются прямоугольными.

Сравним эти прямоугольные треугольники.Катет $OC$ треугольника $\triangle COE$ равен катету $OD$ треугольника $\triangle DOF$, поскольку оба являются радиусами одной и той же окружности ($OC = OD$).Гипотенуза $CE$ треугольника $\triangle COE$ равна гипотенузе $DF$ треугольника $\triangle DOF$ по условию ($CE = DF$).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle COE$ и $\triangle DOF$ равны по катету и гипотенузе. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, то есть катет $OE$ равен катету $OF$.Таким образом, $OE = OF$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.