Номер 807, страница 196 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Окружность и круг. Геометрические построения. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 807, страница 196.

807. Отрезки $MK$ и $NP$ – непараллельные хорды окружности с центром $O$, $MK = NP$, точки $A$ и $B$ – середины хорд $MK$ и $NP$ соответственно. Докажите, что $\angle OAB = \angle OBA$.

Рассмотрим треугольник $ΔOAB$.

По условию, точка $A$ является серединой хорды $MK$. По свойству хорды, отрезок, соединяющий центр окружности с серединой хорды, перпендикулярен этой хорде. Следовательно, $OA ⊥ MK$. Это означает, что длина отрезка $OA$ является расстоянием от центра окружности $O$ до хорды $MK$.

Аналогично, точка $B$ является серединой хорды $NP$. Следовательно, $OB ⊥ NP$, и длина отрезка $OB$ является расстоянием от центра $O$ до хорды $NP$.

В условии задачи дано, что хорды равны: $MK = NP$. Согласно свойству окружности, равные хорды равноудалены от ее центра. Так как $OA$ и $OB$ — это расстояния от центра до хорд $MK$ и $NP$ соответственно, то из равенства хорд следует равенство этих расстояний: $OA = OB$.

Теперь рассмотрим треугольник $ΔOAB$. Поскольку две его стороны равны ($OA = OB$), он является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $∠OAB = ∠OBA$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $∠OAB = ∠OBA$ доказано.