Номер 786, страница 194 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. Упражнения для повторения курса геометрии 7 класса - номер 786, страница 194.

786. Высоты $AD$ и $CM$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) пересекаются в точке $H$, $\angle AHC = 140^\circ$. Найдите углы треугольника $ABC$.

По условию задачи, в равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) проведены высоты $AD$ и $CM$, которые пересекаются в точке $H$. Известен угол $∠AHC = 140°$.

Рассмотрим четырехугольник $MBHD$. Точка $M$ лежит на стороне $AB$, а точка $D$ - на стороне $BC$.

1. Углы $∠AHC$ и $∠MHD$ являются вертикальными, следовательно, они равны:

$∠MHD = ∠AHC = 140°$

2. Поскольку $CM$ является высотой, то $CM ⊥ AB$, из чего следует, что $∠CMB = 90°$. Угол $∠BMH$ является частью угла $∠CMB$ и равен $90°$.

3. Аналогично, поскольку $AD$ является высотой, то $AD ⊥ BC$, из чего следует, что $∠ADB = 90°$. Угол $∠HDB$ является частью угла $∠ADB$ и равен $90°$.

4. Сумма углов в любом выпуклом четырехугольнике равна $360°$. Для четырехугольника $MBHD$ это записывается как:

$∠B + ∠BMH + ∠MHD + ∠HDB = 360°$

5. Подставим известные значения углов в это уравнение:

$∠B + 90° + 140° + 90° = 360°$

$∠B + 320° = 360°$

$∠B = 360° - 320°$

$∠B = 40°$

6. Теперь найдем углы при основании $AC$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, углы при основании равны: $∠BAC = ∠BCA$.

Сумма углов в треугольнике равна $180°$:

$∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°$

$∠BAC + ∠BCA = 180° - ∠ABC$

$∠BAC + ∠BCA = 180° - 40° = 140°$

Поскольку $∠BAC = ∠BCA$, то:

$2 ⋅ ∠BAC = 140°$

$∠BAC = 140° / 2 = 70°$

Следовательно, $∠BCA = 70°$.

Ответ: углы треугольника $ABC$ равны $∠A = 70°$, $∠B = 40°$, $∠C = 70°$.