Номер 2, страница 180 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 4 «Проверьте себя» в тестовой форме. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 2, страница 180.

2. Даны три точки, лежащие на одной прямой. Сколько точек содержит геометрическое место точек, равноудалённых от данных?

А) одну

Б) две

В) бесконечно много

Г) ни одной

Пусть на одной прямой лежат три различные точки $A$, $B$ и $C$. Мы ищем геометрическое место точек $M$, для которых выполняется условие равенства расстояний до этих трех точек:

$MA = MB = MC$

Рассмотрим это условие по частям.

1. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух точек $A$ и $B$ (то есть точек $M$, для которых $MA = MB$), представляет собой прямую, которая является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Назовем эту прямую $l_1$.

2. Аналогично, геометрическое место точек, равноудаленных от двух точек $B$ и $C$ (то есть точек $M$, для которых $MB = MC$), представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку $BC$. Назовем эту прямую $l_2$.

Точка $M$, равноудаленная от всех трех точек $A$, $B$ и $C$, должна принадлежать одновременно обоим этим геометрическим местам, то есть она должна быть точкой пересечения прямых $l_1$ и $l_2$.

По условию, точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Обозначим эту прямую как $L$.

- Прямая $l_1$ (серединный перпендикуляр к $AB$) по определению перпендикулярна прямой $L$.

- Прямая $l_2$ (серединный перпендикуляр к $BC$) также по определению перпендикулярна прямой $L$.

В евклидовой геометрии на плоскости две прямые ($l_1$ и $l_2$), перпендикулярные третьей прямой ($L$), параллельны между собой.

Параллельные прямые могут либо не пересекаться (если они различны), либо совпадать (иметь бесконечно много общих точек).

- Прямая $l_1$ проходит через середину отрезка $AB$.

- Прямая $l_2$ проходит через середину отрезка $BC$.

Так как точки $A$, $B$ и $C$ различны, середины отрезков $AB$ и $BC$ также являются различными точками. Следовательно, прямые $l_1$ и $l_2$ — это две различные параллельные прямые.

Различные параллельные прямые не имеют точек пересечения. Это означает, что не существует ни одной точки $M$, которая была бы равноудалена от трех различных точек, лежащих на одной прямой.

Альтернативное рассуждение: точка, равноудаленная от трех точек, является центром окружности, проходящей через эти три точки. Однако через три точки, лежащие на одной прямой, невозможно провести окружность, так как любая окружность может пересекать прямую не более чем в двух точках.

Таким образом, искомое геометрическое место точек является пустым множеством.

Ответ: Г) ни одной

2. Даны три точки, лежащие на одной прямой. Сколько точек содержит геометрическое место точек, равноудалённых от данных?

А) одну

Б) две

В) бесконечно много

Г) ни одной