Номер 741, страница 177 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 741, страница 177.

741. Постройте треугольник по стороне, высоте, проведённой к этой стороне, и медиане, проведённой к одной из двух других сторон.

Пусть нам нужно построить треугольник $ABC$ по стороне $AB = c$, высоте $CH = h_c$, проведённой к этой стороне, и медиане $AM = m_a$, проведённой к стороне $BC$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен.
1. Сторона $AB$ имеет заданную длину $c$.
2. Вершина $C$ удалена от прямой $AB$ на расстояние $h_c$. Следовательно, точка $C$ лежит на одной из двух прямых, параллельных $AB$ и находящихся на расстоянии $h_c$ от неё. Выберем одну из них, назовем её $l$.
3. $AM$ — медиана к стороне $BC$, её длина равна $m_a$. Это означает, что точка $M$ является серединой отрезка $BC$, и расстояние от точки $A$ до точки $M$ равно $m_a$. Таким образом, точка $M$ лежит на окружности $\omega$ с центром в точке $A$ и радиусом $m_a$.
4. Теперь нам нужно связать положение точки $C$ и точки $M$. Точка $M$ является серединой отрезка $BC$. Это означает, что точку $C$ можно получить из точки $M$ гомотетией с центром в точке $B$ и коэффициентом $k=2$, так как $\vec{BC} = 2 \cdot \vec{BM}$.
5. Поскольку точка $M$ лежит на окружности $\omega$ (с центром $A$ и радиусом $m_a$), то её образ, точка $C$, должна лежать на образе этой окружности при указанной гомотетии. Образом окружности $\omega$ будет окружность $\omega'$.
- Центр новой окружности $\omega'$ — это точка $D$, которая является образом центра $A$ окружности $\omega$. Точка $D$ такова, что $\vec{BD} = 2 \cdot \vec{BA}$. Это значит, что точка $A$ является серединой отрезка $BD$.
- Радиус новой окружности $\omega'$ будет равен $R = |k| \cdot m_a = 2m_a$.
6. Итак, вершина $C$ искомого треугольника должна удовлетворять двум условиям: она лежит на прямой $l$ и на окружности $\omega'$ с центром в точке $D$ и радиусом $2m_a$. Точка $C$ является точкой пересечения этих двух геометрических мест точек.

Построение

1. Строим произвольную прямую и откладываем на ней отрезок $AB$, равный заданной стороне $c$.
2. Строим прямую $l$, параллельную прямой $AB$ и находящуюся на расстоянии $h_c$ от неё. (Для этого можно в любой точке на прямой $AB$, например в точке $A$, восстановить перпендикуляр, отложить на нём отрезок длиной $h_c$ и через его конец провести прямую, параллельную $AB$).
3. На продолжении отрезка $BA$ за точку $A$ откладываем отрезок $AD$, равный отрезку $AB$. Таким образом, точка $A$ становится серединой отрезка $DB$.
4. Из точки $D$ как из центра строим окружность $\omega'$ радиусом $R = 2m_a$. (Для этого нужно удвоить данный отрезок медианы).
5. Находим точки пересечения окружности $\omega'$ и прямой $l$. Каждая такая точка может быть вершиной $C$ искомого треугольника. Обозначим одну из них как $C$.
6. Соединяем точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет условиям задачи.
1. Сторона $AB$ равна $c$ по построению.
2. Высота, опущенная из вершины $C$ на прямую $AB$, равна $h_c$, так как точка $C$ лежит на прямой $l$, параллельной $AB$ и удалённой от неё на расстояние $h_c$.
3. Докажем, что медиана из вершины $A$ к стороне $BC$ равна $m_a$. Пусть $M$ — середина стороны $BC$. В треугольнике $DBC$ отрезок $AM$ соединяет середину стороны $DB$ (точка $A$ по построению) с серединой стороны $BC$ (точка $M$ по определению). Следовательно, $AM$ является средней линией треугольника $DBC$. По свойству средней линии, $AM = \frac{1}{2}DC$. По построению, точка $C$ лежит на окружности с центром $D$ и радиусом $2m_a$, значит, $DC = 2m_a$. Отсюда следует, что $AM = \frac{1}{2}(2m_a) = m_a$.
Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Исследование

Задача имеет решение, если окружность $\omega'$ и прямая $l$ пересекаются. Это происходит тогда, когда расстояние от центра окружности $D$ до прямой $l$ не превышает её радиуса.
Расстояние от точки $D$ (которая лежит на прямой $AB$) до прямой $l$ (которая параллельна $AB$) равно $h_c$.
Радиус окружности $\omega'$ равен $2m_a$.
Следовательно, условие существования решения: $h_c \le 2m_a$.
- Если $h_c < 2m_a$, прямая $l$ пересекает окружность $\omega'$ в двух точках. Это даёт два различных (но симметричных относительно перпендикуляра к $AB$, проходящего через $D$) решения для вершины $C$ на одной стороне от прямой $AB$.
- Если $h_c = 2m_a$, прямая $l$ касается окружности $\omega'$, и существует только одна точка $C$, то есть одно решение.
- Если $h_c > 2m_a$, прямая и окружность не пересекаются, и решений нет.
(Примечание: если рассматривать и вторую прямую, параллельную $AB$, то количество решений удваивается, но получаемые треугольники будут симметричны исходным относительно прямой $AB$).

Ответ: План построения треугольника описан в разделе «Построение». Задача имеет решение при выполнении условия $2m_a \ge h_c$, где $m_a$ — длина медианы, а $h_c$ — длина высоты.

741. Биссектрисы $AD$ и $CE$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O_1$,

биссектрисы $EF$ и $DK$ треугольника $DEB$ пересекаются в точке $O_2$.

Докажите, что точки $B$, $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой.