Номер 738, страница 177 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 738, страница 177.

738. Постройте остроугольный треугольник по периметру, одному из углов и высоте, проведённой из вершины другого угла.

Анализ

Пусть искомый остроугольный треугольник – это $ABC$. По условию задачи нам даны его периметр $P = a+b+c$, один из углов (пусть это будет $\angle B = \beta$) и высота, проведенная из вершины другого угла (пусть это будет высота $h_c$, проведенная из вершины $C$ к стороне $AB$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCH_c$, где $H_c$ – основание высоты $h_c$ на прямой $AB$. В этом треугольнике катет $CH_c = h_c$ противолежит углу $\angle B = \beta$. Следовательно, мы можем выразить длину стороны $a = BC$ (гипотенузы в $\triangle BCH_c$):$a = \frac{h_c}{\sin\beta}$Эту длину можно построить с помощью циркуля и линейки.

После того как мы определили длину стороны $a$, задача сводится к построению треугольника по стороне $a$, прилежащему к ней углу $\beta$ и сумме двух других сторон $b+c = P-a$.

Для решения этой классической задачи на построение воспользуемся методом вспомогательного треугольника. Предположим, что треугольник $ABC$ уже построен. На луче $BA$ отложим от точки $A$ отрезок $AD$, равный стороне $AC=b$. В этом случае точка $A$ окажется между точками $B$ и $D$, а длина отрезка $BD$ будет равна $BA+AD = c+b$.Рассмотрим вспомогательный треугольник $BCD$. В нем нам известны:

• сторона $BC=a$;
• сторона $BD=b+c$;
• угол между ними $\angle CBD = \beta$.

Треугольник $ACD$ является равнобедренным, так как по построению $AC=AD=b$. Это означает, что вершина $A$ равноудалена от точек $C$ и $D$, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $CD$. Также вершина $A$ по построению лежит на прямой $BD$.Таким образом, искомая вершина $A$ – это точка пересечения прямой $BD$ и серединного перпендикуляра к отрезку $CD$. Это дает нам четкий план для построения.

Построение

Сначала построим отрезки, равные по длине стороне $a$ и сумме сторон $b+c$.

1. Построим прямоугольный треугольник с острым углом $\beta$ и противолежащим ему катетом $h_c$. Гипотенуза этого треугольника будет равна искомой стороне $a$. Для этого строим прямой угол; на одной из его сторон откладываем отрезок, равный $h_c$; из конца этого отрезка (не из вершины прямого угла) проводим луч под углом $90^\circ - \beta$ к отрезку $h_c$ до пересечения со второй стороной прямого угла. Полученная гипотенуза и будет отрезком, равным $a$.
2. Построим отрезок, равный $b+c$. Для этого на прямой отложим отрезок, равный заданному периметру $P$, и из одного его конца вычтем (отложим внутрь) отрезок, равный $a$. Оставшаяся часть отрезка будет иметь длину $b+c = P-a$.

Теперь выполним построение искомого треугольника $ABC$.

3. Проведем прямую и отложим на ней отрезок $BC$, равный построенной на шаге 1 стороне $a$.
4. От точки $B$ построим луч $BX$ так, чтобы угол $\angle CBX$ был равен заданному углу $\beta$.
5. На луче $BX$ от точки $B$ отложим отрезок $BD$, равный построенной на шаге 2 длине $b+c$.
6. Соединим точки $C$ и $D$ отрезком.
7. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $CD$.
8. Точка пересечения этого серединного перпендикуляра с отрезком $BD$ является искомой вершиной $A$.
9. Соединим точки $A$ и $C$. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• Сторона $BC$ по построению равна $a$.
• Угол $\angle ABC$ (он же $\angle CBD$) при вершине $B$ по построению равен $\beta$.
• Высота, проведенная из вершины $C$ к стороне $AB$, равна $h_c$. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $BC=a$ и острым углом $\beta$ высота из $C$ на прямую $AB$ равна $a \cdot \sin\beta$. Так как мы строили сторону $a$ из соотношения $a = \frac{h_c}{\sin\beta}$, то высота действительно равна $h_c = a \cdot \sin\beta$.
• Периметр треугольника равен $P$. Точка $A$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $CD$, следовательно, $AC = AD$. Точка $A$ лежит на отрезке $BD$, поэтому $AB + AD = BD$. Заменив $AD$ на равный ему отрезок $AC$, получаем $AB + AC = BD$. По построению, длина $BD$ равна $b+c=P-a$. Таким образом, сумма сторон $AB+AC$ равна $P-a$. Периметр треугольника $ABC$ равен $BC + AB + AC = a + (AB+AC) = a + (P-a) = P$.

Все условия задачи выполнены, следовательно, построенный треугольник $ABC$ является искомым. Условие, что треугольник должен быть остроугольным, накладывает определенные ограничения на исходные данные ($P, \beta, h_c$), при которых углы $\angle A$ и $\angle C$ будут острыми. Задача предполагает, что такие данные существуют.

Ответ:Построение искомого треугольника выполняется в два основных этапа. На первом этапе, используя данные (угол $\beta$ и высоту $h_c$), строится сторона $a$, прилежащая к этому углу ($a = h_c/\sin\beta$). Затем находится сумма двух других сторон как разность между периметром $P$ и стороной $a$. На втором этапе выполняется построение треугольника по стороне $a$, углу $\beta$ и сумме сторон $b+c$. Для этого строится отрезок $BC=a$, из вершины $B$ под углом $\beta$ проводится луч, на котором откладывается отрезок $BD=b+c$. Искомая вершина $A$ находится как пересечение отрезка $BD$ и серединного перпендикуляра к отрезку $CD$.

738. Отрезки $AB$, $AC$ и $BD$ – соответственно диаметр и хорды окружности, причём $AC \parallel BD$. Докажите, что отрезок $CD$ – диаметр окружности.